补充资料：泊松方程和拉普拉斯方程

    　　势函数的一种二阶偏微分方程。广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
　　
　　简史 　1777年，J.L.拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量m_k除以它们到任意观察点P的距离r_k,并且把这些商加在一起，其总和即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所受总引力的相应分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：,叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。1813年,S.-D.泊松撰文指出,如果观察点P在充满引力物质的区域内部,则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用,并指出导体表面为等热面。
　　
　　静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 　若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：
　　
　　 ，
　　式中ρ为自由电荷密度，纯数 ε_r为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数ε_o=8.854×10^-12法／米。在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程
　　
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　　在各分区的公共界面上，V满足边值关系
　　
　　
　　
　　
　　式中i，j指分界面两边的不同分区，σ 为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
　　
　　边界条件和解的唯一性 　为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷,叫做诺埃曼边界条件。
　　
　　边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
　　
　　除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。
　　
　　静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程 　在SI制中，静磁场满足的方程为
　　
　　
　　式中j为传导电流密度。第一式表明静磁场可引入磁矢势r)描述：
　　
　　
　　
　　在各向同性、线性、均匀的磁媒质中，传导电流密度j0的区域里，磁矢势满足的方程为
　　
　　
　　选用库仑规范，墷·r)=0，则得磁矢势r)满足泊松方程
　　
　　
　　式中纯数μ_r 为媒质的相对磁导率， 真空磁导率μ_o=1.257×10^-6亨／米。在传导电流密度j=0的区域里,上式简化为拉普拉斯方程
　　
　　
　　静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程是矢量方程，它的三个直角分量满足的方程与静电势满足的方程有相同的形式。对比静电势的解，可得矢势方程的解。
　　
　　

参考书目
　　　郭硕鸿著:《电动力学》,人民教育出版社,北京,1979。
　　　J.D.杰克逊著,朱培豫译：《经典电动力学》下册,人民教育出版社,北京,1980。(J.D. Jackson,Classical Electrodynamics,John Wilye & Sons,New York,1976.)
　　

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