补充资料：表示函数

表示函数
representation function

C)G的论著【l】，见IAll，第五章.如梁G是紧拓扑群，它连续作用于空问X上，而X是紧统的可数并，则F(X，幻。在赋予紧开拓扑的F(X，k)中是稠密的(见Pete卜Weyl定理(Pe-te卜Wey】theo~)).对于具有紧Lie群光滑作用的微分流形上各次光滑性的表示函数，类似的命题也成立另一方面，如果G不能有到紧群中的非平凡连续同态(例如G是没有紧单因子的连通半单Lie群)，则具有G的连续作用的紧空问X上的每个表示函数都是G不变的(【4]). 如果紧Lie群G在微分流形X上的光滑作用只有有限个轨道类型，则所有C‘类表示函数的代数F伙X，k)。在所有C‘石类G不变函数的子代数上是有限生成的(见【5]).特别是，对于齐性空间X，代数F(X，C)G=F‘(X，C)。是有限生成的，并可等同于C上仿射齐性代数簇(其实点的集合与X相同)上的正则函数的代数.对于应用而言，把G模F(X，C)。分解为单G模的直和是一重要问题.在X是紧群G的对称齐性空间的情形，此问题由E .Cartan(【11)解决. 表示函数的推广是G空间X上向量G丛E的表示截面(rePresentat10n section)，即这样的连续截面，其G轨道系在所有连续截面的空间r(E)中生成一个有限维子空间，例如具有Lie群G的光滑作用的光滑流形上的表示张量场;它们构成G子模r(E)。仁r(E)(见f53).如果G是紧群，则子模f(E)。在r(E)中稠密.在X是G的对称齐性空间的情形，己研究了G模r(E)。分解为单分量的问题(见13」).如果X是没有具有连通稳定子群的紧因子的半单Lie群G的紧齐性空间，则 d如r(E)。<的(见121).【补注】“表示函数”的更通用名称是G有限函数(G一五吐e function).“球面函数”一词通常还有另外的意义，见球面函数(sPhericalfi川ctions)条的补注.关于Cartan对紧对称空间X的情形分解F(X，表示函数【稗声esentad叨云四比柱叨;即e解T明几，.川朋柳。粗“.] 赋予群G的连续作用的拓扑空间X上的一个连续函数f，它在X上所有连续函数的空间中的轨道(g‘f:g‘G}生成一个有限维子空间.表示函数也称为球面函数(sPherical fl』zlction)或殆不变函数(ain幻st-脚ariantfu解石。n).取值于域k=R或C中的表示函数系构成x上所有k值连续函数的代数F(x，k)中的一个G不变k子代数F(X，k)。.如果X“G是以左位移作用于自身的拓扑群，则F(X，的。二F(右，k)G与F(G，k)中由G的有限维连续线性表示的矩阵元生成的子空间相同.如果G还是紧群，则可限定为不可约表示的矩阵元.例如，如果G=T是平面旋转群，则G上的表示函数是三角多项式.另一例子是球面上的经典球面函数(印比rical丘功ctions)，它们是关于球面旋转群的标准作用的表示函数.

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