补充资料：耗散算子

耗散算子
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耗散算子[山娜，盼陀q州，妞;朋ee恤aT脚以ooepa-T叩」 一个定义在Hilbelt空间H中稠密域D，上的线性算子A，使得 IIn(Ax，x))0，若xeD，. 有时这个要求用条件Re(Ax，x)(0对x任D，来代替，即在这个意义下，A的耗散性等价于算子(一沮)的耗散性. 一个耗散算子称为攀木的(maxin司)，如果它没有真耗散扩张.一个耗散算子总是有闭包，它也是一个耗散算子;特别地，一个极大耗散算子是闭算子.任何耗散算子可以扩张为一个极大耗散算子.对于一个耗散算子，满足Im又<0的所有点又，均属于它的预解集，进而还有 }}众一又x}})}玩又}}}x}}，x任。，.一个耗散算子是极大的，当且仅当对所有满足Irn又<0的又有(A一又I)D，=H.耗散算子极大性的一个等价条件是它为闭的，且 Irn(A’y，y)簇O，y任D，二 如果A。是一个极大对称算子(s，nr阴tric opela-tor)，那么或者A。或者一A。是一个极大耗散算子.对任何对称算子A。，可以考虑耗散扩张，特别地，可以考虑极大耗散扩张;而且它们的描述等价于保守算子B。二iA。:Re(B声，x)“0，x‘D，的极大耗散扩张的描述. 耗散算子与压缩(田ntr即沈ion)算子以及所谓的增生算子(ao口旧ti记。详m加r)有紧密联系，后者是指这样的算子A，使iA是耗散算子.特别地，一个增生算子是极大的，当且仅当一A是H上一个连续的单参数压缩半群王Ts}:;。的生成算子(或生成元).Oy.lev变换 子=(月刁)(月村)六才=(杆丁)(护了)州是用来建立极大耗散算子的函数演算的，特别地，是用来建立它们的分数幂理论的，其中A是一个极大增生算子，而T是一个不以又=1为其本征值的压缩算子. 在有界线性算子A的情形下，耗散算子的定义等价于要求街)0，其中AJ=(A‘一A)/2i是算子A的虚部.对于可分E山比d空间H上具有核型虚部AJ的全连续耗散算子A，它的根向量系完全性的几个判别准则(即必要充分条件)是有效的;例如 v《A) 二hnxj(‘)一“注，，其中又j(A)是算子A的全部本征值，j=1，…，，(A)蛋田，且trA，是算子A，的迹(月皿且田呱准则(Liv-shjts criterion)); 1:__n+(p，A，)_八二，__n_(p，A:) 1而二二匕址二二二二纽二=0或lirn二二二二二‘二三乙二O、 p~田Pp一田P其中A:=(A十A’)/2是A的实部，而冲*是算子A*位于线段[0，川及「一今0]中的特征数的个数(Kpeha准则(众恤;侧如匆n)).对应于耗散算子不同本征值又，口=1，入…的本征向量系{钓}，构成了它的闭线性包中的一个蒸，且若于竺丛坦粤<二. j护k则系{俩}等价于一个规范正交基. 对于非线性算子，甚至对于多值算子A，也可引进耗散算子的概念.H习比n空间上这样的算子称为耗散的，如果对于它的任何两个值，不等式 Re(Ax;一AxZ，x，一xZ)簇0成立.这个概念也构成了单参数非线性压缩半群及有关的微分方程的理论基础.耗散算子概念的另一个推广是关于作用在具有所谓半内积的加脸由空间上的算子的.还有一个推广则是关于作用在具有不定度规的Hm此找空间(Hi】bertsPa沈俪山aninde丘苗temetric)上的算子的.【补注l对在比H口忱rt空间的更广的空间上的耗散算子，[AI]是一篇好的参考文献.对于Hilbert空间上的算子，亦见[A2】.

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