补充资料：Rao-Cramér不等式

Rao-Cramér不等式
Rao - Cramer inequality

的估计量，并称b(口)为T的偏倚(b此).那么，在关于族{p(刘因}的一定正则性条件下，其中包括Fisher信息量(Fisber如fomn石on) ，。。)一〔「目旦竺卫工主生旦工〕’ L口口」不为。，Cranl三r‘Rao不等式(Crdl证r一Rao irl叫卿ity)为 。。.:一。}2)卫共华迸{、。2(。一(，) I(口)对于具有同一偏倚函数b(的的、未知参数口的一切估计量T，此不等式给出了均方误差〔。}T一川，的下界 特别地，如果T是口的无偏估计量(unbiasedestimator)，即E。T=口，则由(l)，得 DT一E“，T一。，‘)命·‘2，这样，在此情形下，C份威r一Rao不等式提供了参数口的无偏估计量T之方差的下界l/I(0).此外，C‘之-n记r一Rao不等式表明，相合估计量(。。打‘istent巴til拟-tor)的存在性，与当n一田时Fisher信息量I(川的无限增大有关.如果Cm耐r一R出〕不等式(2)对于某个无偏估计量T为等式，则在所有无偏估计的类中在最小平方风险意义下T是最优的.这样的估计量T称为有效估计量(efficie幻t estil斑ltor).例如，如果Xl，…，茂是独立随机变量，服从同一正态律N(口，l)，则T二(Xl十二十X。)/n是未知均值0的有效估训量. 在一般情形下，式(2)中的等式成立，当且仅当{，(x{0)}是考攀分布毕(expollen石al fan宙y)，即随机向量X的概率密度可以表示为 夕(x}口)二c(x)exp{“(日)毋(x)一“(口)}，这时充分统计量T“毋(X)是其期望。’(0)/u’(刃的有效估计量.如果不存在有效估计量，则无偏估计量之方差的下界可以精确化，因为Cm诚r一Rao不等式给出的只是下界而不是下确界.例如，若X.，一，戈是独立随机变量，服从同一正态律N(a’‘3，l)，则参数a的无偏估计量之方差的下界为 9 a4 . 18 aZ .6 nn一n而1 ga‘ I(a)n一般，若Craz记r·Rao不等式(2)达不到等式，则并不说明所得估计量不最优，因为它可能是唯一无偏估计量. 在向量参数情形下，Cm成r一Rao不等式有不同的推广，并且可以推广到估计此参数的函数的情形.恰好是在这些情形下，O劲1记r一Rao不等式中下界的精确化有重要作用. 不等式(l)独立地分别由M .F游比以，C .R .Ra。和H.Cra耐r得到.Rao一Cra械r不等式〔Rao一C例耐r旅甲曰灯;Pao一KPa-Mepa“ep姗He卿l，Crall云r一Rao不等式(C扭屈r一Rao角闪，五勿)，F政het不等式(F政heti班视uality)，信息不等式(山仍n刀ationi以祠班山ty). 数理统计中的不等式，在未知参数的估计问题中，它确立关于平方损失函数的风险的下界. 假设随机向量X之(X、，…，戈)取值于n维空间R”，其概率分布由密度p(x{6)决定，其中x=(x.，二，x。)丁，口‘OCR’.设统计量T=T(X)满足条件 E。T=日+b(日)，其中b(因是可微函数.现用T作未知数值参数口

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