补充资料：哑演算

哑演算
umbral calculus

哑演算〔训山rai ealo目us;TeueBo‘a，助H31【补注】应用近世代数技术研究某些类型的多项式序列或形式Laurelll级数的系统理论. 哑(盯bra)这个词是J.J.Sylvester在19世纪中期提出的，而最初是指用于表示一个实数序列a。，“，，…的符号a.因此，如果序列a，b和c满足 召厂n、 c一*么气、/““”一“则可以用哑记号(umb找21 notation)表示为 c‘’=(a+b)”然而这个记号现在已经过时. 现代设计的哑演算是研究二项型的多项式序列(pol尹lomial sequenees of binomial tyl咒)尸。(x)，即deg(P、(x))二n且 ，，】(二，卜*客、(又)，*(·)，一‘·)的序列，以及Sheffer型的多项式序列(p01”10~lse-明ences of Sheffer tyPe)￡。(x)，即deg(s。(x))=”目. 井/n、 “·【’十夕’一*誉，、、/￡“气‘’尹一“气‘’的序列.这里P。(二)是二项型的序列.Sheffer型序列类还包含与下述人有关的多项式序列，他们是Ch.Hermite，E .N .Laguerre，J.Bernouli，L .Euler，5.D .Poisson和C .Ch拢rlier，J .Me微er，F .B .Pid-duek，S、Na「ullll，G .Boole，G .M .Mittag一Lenler，FW.Bessel，E.T.E记11，N，H.Abe】，以及其他一些人. 如果尸是单变量多项式代数，那么对偶空间P’是众所周知的向量空间.事实上，尸’借助于映射 。(:)一全丝井工。*， 一、一，*瞥，k!同构于形式幂级数，的向量空间.因此可以把尸’等同于代数叮(尸’)=了，从而允许线性泛函的乘法.代数、=叮尸’)称为哑代数(umbrala】罗bnl). 特别地，对线性泛函L和M，几何级数M，M乙，MLZ，…是有意义的，因此，可以通过deg(“(，))一”定义多项式序列S。(‘)和手孪件争件(ortllogonality conditions). M无人(s。(x))二n!占。，*·按这种方式得到的序列恰是Sheffer型序列，并称其为Sheffer序#lj(sheffer sequences). 在哑演算甲最强的一些结果来自于哑代数、上 线性算子空间的研究.如果T:尸一，尸是尸上的线性算子，那么它的伴随T’:了~、是哑代数了上 的线性算子. p上最重要的线性算子是对二项型序列p。(x)用 之(x”)=P。(x) 定义的哑算子(umbral operator)和对二项型序列 P，，(x)用 口p。(x)=夕。、，(x)定义的哑移位(1叨bml shifi). 哑演算中两个关键结果是:尸上一个线性算子是哑算子，当且仅当它的伴随是了的一个自同构;P上一个算子是哑移位，当且仅当它的伴随是尸上的求导.第一个结果引出了多项式尸。(x)的显式表示，而第二个结果导出了p。

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