1) product of fuzzy topological groups
模糊拓扑群的直积
1.
On direct product of fuzzy topological groups of type(QU);
关于(QU)型模糊拓扑群的直积
2) direct product of fuzzy topological semi-group
模糊拓扑半群的直积
3) product of fuzzy topological groups of type(QU)
(QU)型模糊拓扑群的直积
4) direct product of fuzzy topological groups of type(QU)
(QU)型模糊拓扑群直积
5) product of fuzzy topological rings
模糊拓扑环的直积
1.
In this paper,two products of fuzzy topological rings and of fuzzy topological of type (QU) are defined to prove that the product of fuzzy topological rings is also a fuzzy topological rings.
本文定义了模糊拓扑环的直积 ,论证了该定义的合理性 ;证明了 (QU)型模糊拓扑环的直积仍是 (QU)型模糊拓扑环 ;并研究了 (QU)型模糊拓扑环直积的性质 。
6) direct product topological group
直积拓扑群
补充资料：拓扑群
又名连续群,是具有拓扑空间结构的群。设G是拓扑空间，又是一个群，而且群的乘积运算与求逆按此拓扑是连续的，即从拓扑空间G×G到拓扑空间G上的映射m∶(x,y)→x·y及从G到G上的映射??:x→x-1 都是连续映射，则称G为拓扑群。如果G作为拓扑空间是局部紧(或紧、连通、单连通)的,则称G为局部紧(或紧、连通、单连通)拓扑群。例如,n维欧氏空间中所有向量所成的加群，再加上通常的拓扑，就是一个交换拓扑群；实数域R上所有n阶非奇异方阵所成的乘法群GL(n,R),再加上通常的拓扑，是一个局部紧拓扑群;而所有行列式为1的正交矩阵所成的群SO(n,R)是一个紧连通拓扑群。
从拓扑群G到拓扑群H内的映射??:G→H,如果作为群结构它是群同态，作为拓扑空间的映射它是连续的，那么??称为从拓扑群G到拓扑群H的同态，简称同态。如果同态??是双射, 而且逆映射??-1也是连续的，那么??称为拓扑群G到拓扑群H上的同构映射，简称同构。拓扑群全体带上拓扑群间的同态，构成一个范畴。这个范畴就是拓扑群论研究的对象。
在数学中，拓扑群概念最初是由连续变换群的研究所引起，人们发现在处理许多连续变换群的问题中所出现的群，往往不必考虑作变换群，而只需研究这些群本身，于是产生了连续群的概念。M.S.李是最初对连续群进行系统研究而卓有成就的人。李群就是因他得名。
拓扑群的结构是比较均匀的，一点邻近的性质可以反映其他点邻近的性质。设G为群,为G的某些子集构成的集合。如果 适合下列五个条件：①，其中e为G的单位元素；②对U、V∈,存在W ∈使W嶅U ∩V;③对每个U ∈,存在V∈使VV-1嶅U;④对每个U∈及α∈U，存在V∈使Vα嶅U；⑤对每个U∈及α∈G,存在V∈使α-1Vα嶅U,那么在G中可以引进惟一的拓扑,以{Uα｜U∈,α∈G},为拓扑空间的完全邻域组，使G成为拓扑群，亦即拓扑群G的拓扑结构完全决定于单位的完全邻域组,只要拓扑群中有一点是闭集,那么每一点都是闭集,从而是豪斯多夫空间，并且这样的拓扑群的拓扑空间是正则的。连通拓扑群作为抽象群都可以由它的单位的一个邻域来生成。
如果拓扑群G的子集H是群G的子群,那么H加上由G的拓扑继承下来的拓扑也构成拓扑群，就称H为拓扑群G的拓扑子群；如果H 又是G 的闭（开）子集，那么H 称为G 的闭(开)子群。开子群一定是闭子群。拓扑群G 的子群H 的闭包啛 也是拓扑子群。拓扑群G 的中心与换位子群都是G 的闭正规子群。给出拓扑群G 的子群H,就可以有左陪集的集合G/H ={αH丨α∈G},有从G 到G/H上的自然映射π∶G→G/H,π(α)=αH,对α∈G,G/H上使π连续的最强拓扑，使G/H成拓扑空间，称为G关于子群H 的左陪集空间。同样有右陪集空间H\G。于是, G/H是豪斯多夫空间当且仅当H是闭子群。G/H是离散的,当且仅当H是开子群。如果H是拓扑群G 的正规子群，那么商群G/H再加上上述陪集空间拓扑，使G/H成拓扑群，称为拓扑群G按正规子群H所做得的商群。这时，从拓扑群G到拓扑群G/H的自然映射 π是拓扑群间的开同态（作为拓扑空间的映射把开集映到开集）。还有类似于群同态基本定理的同态定理：如果??是从拓扑群G到拓扑群G1上的开同态映射，N为??的核,那么N是G的闭正规子群，而且由??导出G/N到G1上的映射是拓扑群间的同构映射。
在研究拓扑群的结构及讨论拓扑群上函数的性质时，一个非常重要的有力工具是,在局部紧拓扑群G上可以建立起不变测度与不变积分，即G 有一个适当广的可测子集类（博雷尔子集类）,在这个类集上可以有一个测度μ，使得对G中的任一元素α，可测集M的测度μ(M)与集合Mα的测度μ(Mα)相等。这种测度称为局部紧群G上的哈尔测度。它是A.哈尔于1933年首先建立起来的理论。 可以证明, 除了一个常数因子外，局部紧群上的哈尔测度是惟一确定的。紧子集上的哈尔测度是有限的，因此, 在紧群G上哈尔测度总可以标准化为μ(G)=1。有了测度就可以在局部紧拓扑群上建立起不变积分的理论。1934年J.冯·诺伊曼用比A.哈尔简单得多的方法，在紧群上直接建立起不变积分的理论。早在1927年,F.彼得与（C.H.）H.外尔已经在讨论紧李群的线性表示时用到了不变积分。
拓扑群的表示理论也是研究拓扑群的一个重要方面。从拓扑群G到所有n阶非奇异方阵所成的拓扑群GL(n,C)中的同态,称为G的一个线性表示。与有限群的线性表示理论相似，紧拓扑群的线性表示也具有完全可约性、正交性、完备性。所谓完全可约性，是指紧拓扑群的任一线性表示都是不可约表示的直和。所谓正交性，是指紧群G 的任意两个维数各为m与n的不等价的不可约表示ρ 与σ,ρ:x→ρ(x)=(gij(x)),x∈G,i,j=1,2,...,m;σ:x→σ
(x)＝(hkl(x))，x∈G，k，l＝1,2,..., n，有关系式，当i≠s或j≠t时;式中积分是群G上的不变积分, 抧ij(x)、(x)分别是gij(x)、(x)的共轭。
所谓完备性,是指如果Ω表示紧群G的所有不可约表示中所出现的连续函数gij(x)全体，那么G上任一连续函数都可用Ω中函数的线性组合来逼近。这就是著名的彼得－外尔定理。
在拓扑群中研究得最多的是局部欧氏群。当拓扑群G的某一点有邻域同胚于欧氏空间的开集，则G称为局部欧氏群。许多数学家在研究希尔伯特第 5问题即是否每一个局部欧氏群都是李群时作出了贡献。Л.C.庞特里亚金于1934年解决了交换群的情况，冯·诺伊曼解决了紧群的情况，D.蒙哥马利和L.齐平证明了任一局部连通的有限维的局部紧群是李群，从而肯定了D.希尔伯特的猜测。
拓扑群的理论是李群的基础。李群在数学的许多方面有广泛的联系，在物理学中有大量的应用。
从拓扑群G到拓扑群H内的映射??:G→H,如果作为群结构它是群同态，作为拓扑空间的映射它是连续的，那么??称为从拓扑群G到拓扑群H的同态，简称同态。如果同态??是双射, 而且逆映射??-1也是连续的，那么??称为拓扑群G到拓扑群H上的同构映射，简称同构。拓扑群全体带上拓扑群间的同态，构成一个范畴。这个范畴就是拓扑群论研究的对象。
在数学中，拓扑群概念最初是由连续变换群的研究所引起，人们发现在处理许多连续变换群的问题中所出现的群，往往不必考虑作变换群，而只需研究这些群本身，于是产生了连续群的概念。M.S.李是最初对连续群进行系统研究而卓有成就的人。李群就是因他得名。
拓扑群的结构是比较均匀的，一点邻近的性质可以反映其他点邻近的性质。设G为群,为G的某些子集构成的集合。如果 适合下列五个条件：①，其中e为G的单位元素；②对U、V∈,存在W ∈使W嶅U ∩V;③对每个U ∈,存在V∈使VV-1嶅U;④对每个U∈及α∈U，存在V∈使Vα嶅U；⑤对每个U∈及α∈G,存在V∈使α-1Vα嶅U,那么在G中可以引进惟一的拓扑,以{Uα｜U∈,α∈G},为拓扑空间的完全邻域组，使G成为拓扑群，亦即拓扑群G的拓扑结构完全决定于单位的完全邻域组,只要拓扑群中有一点是闭集,那么每一点都是闭集,从而是豪斯多夫空间，并且这样的拓扑群的拓扑空间是正则的。连通拓扑群作为抽象群都可以由它的单位的一个邻域来生成。
如果拓扑群G的子集H是群G的子群,那么H加上由G的拓扑继承下来的拓扑也构成拓扑群，就称H为拓扑群G的拓扑子群；如果H 又是G 的闭（开）子集，那么H 称为G 的闭(开)子群。开子群一定是闭子群。拓扑群G 的子群H 的闭包啛 也是拓扑子群。拓扑群G 的中心与换位子群都是G 的闭正规子群。给出拓扑群G 的子群H,就可以有左陪集的集合G/H ={αH丨α∈G},有从G 到G/H上的自然映射π∶G→G/H,π(α)=αH,对α∈G,G/H上使π连续的最强拓扑，使G/H成拓扑空间，称为G关于子群H 的左陪集空间。同样有右陪集空间H\G。于是, G/H是豪斯多夫空间当且仅当H是闭子群。G/H是离散的,当且仅当H是开子群。如果H是拓扑群G 的正规子群，那么商群G/H再加上上述陪集空间拓扑，使G/H成拓扑群，称为拓扑群G按正规子群H所做得的商群。这时，从拓扑群G到拓扑群G/H的自然映射 π是拓扑群间的开同态（作为拓扑空间的映射把开集映到开集）。还有类似于群同态基本定理的同态定理：如果??是从拓扑群G到拓扑群G1上的开同态映射，N为??的核,那么N是G的闭正规子群，而且由??导出G/N到G1上的映射是拓扑群间的同构映射。
在研究拓扑群的结构及讨论拓扑群上函数的性质时，一个非常重要的有力工具是,在局部紧拓扑群G上可以建立起不变测度与不变积分，即G 有一个适当广的可测子集类（博雷尔子集类）,在这个类集上可以有一个测度μ，使得对G中的任一元素α，可测集M的测度μ(M)与集合Mα的测度μ(Mα)相等。这种测度称为局部紧群G上的哈尔测度。它是A.哈尔于1933年首先建立起来的理论。 可以证明, 除了一个常数因子外，局部紧群上的哈尔测度是惟一确定的。紧子集上的哈尔测度是有限的，因此, 在紧群G上哈尔测度总可以标准化为μ(G)=1。有了测度就可以在局部紧拓扑群上建立起不变积分的理论。1934年J.冯·诺伊曼用比A.哈尔简单得多的方法，在紧群上直接建立起不变积分的理论。早在1927年,F.彼得与（C.H.）H.外尔已经在讨论紧李群的线性表示时用到了不变积分。
拓扑群的表示理论也是研究拓扑群的一个重要方面。从拓扑群G到所有n阶非奇异方阵所成的拓扑群GL(n,C)中的同态,称为G的一个线性表示。与有限群的线性表示理论相似，紧拓扑群的线性表示也具有完全可约性、正交性、完备性。所谓完全可约性，是指紧拓扑群的任一线性表示都是不可约表示的直和。所谓正交性，是指紧群G 的任意两个维数各为m与n的不等价的不可约表示ρ 与σ,ρ:x→ρ(x)=(gij(x)),x∈G,i,j=1,2,...,m;σ:x→σ
(x)＝(hkl(x))，x∈G，k，l＝1,2,..., n，有关系式，当i≠s或j≠t时;式中积分是群G上的不变积分, 抧ij(x)、(x)分别是gij(x)、(x)的共轭。
所谓完备性,是指如果Ω表示紧群G的所有不可约表示中所出现的连续函数gij(x)全体，那么G上任一连续函数都可用Ω中函数的线性组合来逼近。这就是著名的彼得－外尔定理。
在拓扑群中研究得最多的是局部欧氏群。当拓扑群G的某一点有邻域同胚于欧氏空间的开集，则G称为局部欧氏群。许多数学家在研究希尔伯特第 5问题即是否每一个局部欧氏群都是李群时作出了贡献。Л.C.庞特里亚金于1934年解决了交换群的情况，冯·诺伊曼解决了紧群的情况，D.蒙哥马利和L.齐平证明了任一局部连通的有限维的局部紧群是李群，从而肯定了D.希尔伯特的猜测。
拓扑群的理论是李群的基础。李群在数学的许多方面有广泛的联系，在物理学中有大量的应用。
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条