补充资料：动力系统中的万有性态

动力系统中的万有性态
niversal behaviour in dynamical systems

动力系统中的万有性态【.丽、即川b日.，如叮加勿.而。1邓如”;yH“BePcajl‘110e n0Be翠H“eB四”.脚N，eclalxeueTeMax」【补注]在70年代末，P.心ullet和C二rl℃sser(【A6])以及M.Feigen加uIn(【A8」)独立地发现了在一维动力系统由简单的动力学转到浑沌动力学时，有惊人的、未曾料到的特点出现(亦见通向浑沌的道路(ro爬to。haos)).以二次映射族式.(x)=1一召扩为例，这里几作用在区间x6【一1，l]上(O毛群蕊2)，它使人想起周期加倍的场景(伴门od-doublingsc~).当，‘一泛讨，’尤肴每一不(最小)周期的周期点.令召，是使f，具有最小周期2‘的周期轨道的参数值#之下确界.于是 O<从、<拜!<“‘，而且 suP拜。=拜二一1 .401155·…当拼‘<召簇料，+.时，f，.的动力学可以用以下三个命题来描述. i)几具有恰好一个(最小)周期为2’的周期轨道A，，j=0，1，…，i，而没有其他周期轨道. 的A‘的任一对相邻点都被门，<，A，中的唯一点所分离. ili)除了(可能是可数多个)轨道与A，，J风时几有无穷多不同的周期轨道以及正的拓扑嫡. 这类“拓扑的”或组合的图象的许多特点，已为这个领域的许多早期研究者所了解，具体说来有P .J . Myr-比唱(〔A12」)和N .M己troPo比，M .L .Stein和P.R .stein(「A13”，他们也认识到周期轨道A，的组合构造是由几为单模的这一事实严格地决定了的(见【A141).从本质上说，上述的命题可以对任一族单模映射提出(见IAgl).事实上，拜，的(弱)单调性，还有以下事实，即若拜<召。，几必有最小周期2，的周期轨道存在，这里j二0，1，…直到某个i，而且再也没有其他周期轨道，对于任何一族直线上的连续映射，均可从川apK帕cK浦定理(Sharko呢肠小印~)推出(【A16]，【A2」);最近的工作，还对一维连续映射的周期轨道的组合构造提供了更一般的了解(见【All). CO司阮t.T心ser和凡i罗nhaum对上述的拓扑特J胜还加上了一些分析和数值的特性: vi)召，个拜。的收敛性是渐近几何级数形的:)二贵戈告一“一‘669’二; 而)周期轨道是成比例的:用A)表示群=从+l时的轨道A，;则 北t〔0、A’、 11m一‘二二二之‘二兰匕一=汪一2.5029… 几=二dist(O，A了+l) 这些命题是对二次映射的特殊族九提出的，在技巧上虽然有趣，却并不那么令人吃惊.然而，他们发现了，v)一而)对很广泛一类单模的单参数族也成立，只要满足很平凡的“满”条件(本质上就是f0只有有限多个周期轨道，而关有正嫡)以及一些光滑性条件(本质上就是(x，拜)~大:(x)为c，而每一个j，均有一个非退化临界点).轰动的是常数占和“对一切族/，都是一样的. 在IA6」和【A8」中用来自重正化理论中的思想把这些断言归结成为关于作用于适当的函数空间上的加倍算子(doub』ing op既ltor)‘甲的技术性的猜想.0，助nford在【All]中对下述基本的猜想给出了一个严格的、计算机辅助的证明，即甲有一个鞍点型的不动点，且有一个特征乘子占一曦肠9…(与vi)一样)还有一个余维数1的稳定流形(亦见【A3]，【AS」).D.Suilivdn(【A17」)证明了这个不动点在“二次形状”映射的空间中的唯一性.关于稳定流形和某个分岐子流形横截这个最后的猜想仍未得证.最近，S往山珑In(【AS」)引人了一些新思想，绕过了这个困难，对于CZ单模映射族的万有性态给出了一个相当完整的理论.特别是关于Q刀tor集A。和出现在参数的其他，.阂”值(即“有界型无限可重正化映射”)时的类似集合的渐近几何性态都是万有的;例如集合A。的Ha四如甫维数(Hausdo叮d妇讹璐ion)项为0.538以5.{A18]和【A7]中有这个理论的完整的叙述. 这些思想也已用于圆周的微分同胚〔汇A10]，亡A巧”和保面积平面微分同胚上([A4〕，【A巧」).

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