1) Melnikov method of multi-degree-of-freedom Hamiltonian system
多自由度哈密尔顿系统Melnikov理论
2) Hamiltonian system
哈密尔顿系统
1.
All the physical courses whose dissipative effects are negligible can be expressed as Hamiltonian systems which preserve energy conservation and symplectic geometric structure.
一切耗散效应可以忽略不计的物理过程都可表示成能够保持辛几何结构不变的哈密尔顿系统的形式,它在自然界中具有普适性,也就是说大多数孤子方程都可以表示成哈密尔顿形式。
2.
A Hamiltonian system is introduced in the problem.
引进哈密尔顿系统,通过哈密尔顿二元方程,采用4对对偶变量,对系统中的基础问题进行数学描述,并归纳为临界荷载的特征值和特征解问题。
3.
We discuss the multisymplectic Preissman scheme which is mainly applied to solve multisymplectic Hamiltonian system in the paper.
主要讨论了用于求解多辛哈密尔顿系统的多辛Preissman格式及其简单应用。
3) Hamilton Systems
哈密尔顿系统
1.
M Order Continuous Finite Element Methods for Linear Hamilton Systems;
线性哈密尔顿系统的m次连续有限元法
4) Hamiltonian Systems
哈密尔顿系统
1.
Topology of Isoenergy manifold of Natural Hamiltonian Systems and Existence of Global Poincaré Section;
自然哈密尔顿系统能量面的拓扑与整体Poincaré截面的存在性(英文)
2.
By applying the continuous finite element methods for ordinary differential equations,the first,second and third order finite element methods for linear Hamiltonian systems are proved to be symplectic as well as energy conservative.
利用常微分方程的连续有限元法,证明了线性哈密尔顿系统的连续一、二、三次有限元法为辛算法;对非线性哈密尔顿系统,本文证明了连续一次有限元在3阶量意义下近似保辛,且保持能量守恒,并在数值计算上探讨了守恒性和近似程度,结果与理论相吻合。
3.
Hamiltonian systems have the two most important characteristics: conserved properties and preserve symplectic structures of flow.
哈密尔顿系统是最重要的动力系统。
5) near-Hamiltonian systems
近哈密尔顿系统
补充资料：哈密顿－雅可比理论
具特定形式的一阶常微分方程组（运动方程组）与一个相应的偏微分方程的关系的理论。它来源于分析力学，对经典力学、理论物理、微分方程、微分几何都有重要的意义。
变分学与哈密顿方程 n自由度力学系(q1,q2,...,qn)的拉格朗日函数l(q,妜)＝T-U,其中T、U分别是力学系的动能和势能。哈密顿最小作用原理指出，力学系的运动q=γ(t)使作用
L(у)＝达到驻定值。由变分学知道，使L(у)达到驻定值的q=у(t)是欧拉－拉格朗日方程
(1)的解。这是n个二阶常微分方程,称为拉格朗日方程组。
经典力学研究力学系有两种途径。一是由 (1)研究(q,妜)随t的变化。{q}构成力学系的构形空间M,它是一个微分流形,妜是M的切向量。这种途径称为拉格朗日力学，可以说是力学的切丛表述。
另一途径是引入广义动量p=(p1,p2,...,pn),，同时通过勒让德变换引入哈密顿函数而得到(q,p)所满足的哈密顿方程组（或称典则方程组，见哈密顿系统）
,
(2)这个途径称为哈密顿力学。由于p是M的余切向量,哈密顿力学可以说是力学的余切丛表述。
在哈密顿力学中最小作用原理也有相应的表述形式，也可讨论拉格朗日函数与哈密顿函数显含时间 t的情况。
研究哈密顿力学的数学理论框架，也称为哈密顿形式化。它对许多数学分支以及力学、理论物理都有重大的意义。
典则变换 典则方程组(2)有许多重要的性质。例如，在运动轨道p=p(t)，q=q(t)上h(p,q)守恒，由于h=T+l，上式实即沿运动轨道机械能守恒。又如,任一力学量F(p,q)在运动轨道上恒适合方程
，{h,F}是经典力学中的泊松括号（见一阶偏微分方程）。
为了讨论典则方程组，最有效的方法是作一个变换
φ:(p,q)(P,Q)=(P(p,q),Q(p,q)) (3)使(2)化简,但由于典则方程组有如上的重要特性，所以仍希望保持其形状。这种变换称为典则变换。典则变换有一些等价的定义。例如，它可定义为保持泊松括号不变的变换。然而，因为有,故由(3)式所表示的P、Q也适合,。利用(3)中的φ 的雅可比矩阵φ1，上述可以表示为,若矩阵A（或线性变换A）适合A_1JA＝J，则称 A为辛矩阵（或辛变换），所以典则变换的雅可比矩阵都是辛矩阵。其逆亦然。所以典则变换也可定义为雅可比矩阵为辛矩阵的变换(3)。
典则变换的重要例子如下：设函数S(q,P)适合。令，则是局部的典则变换。又如，考虑典则方程组的初值问题：,,,它的解当｜t｜充分小时为微分同胚。{gt}称为哈密顿相流：(P,Q)=gt(p,q)。对于每个固定的t,gt都是典则变换。
典则变换的重要性可从下例看出：著名的开普勒问题是讨论质量为m 的质点在势能为U（r）=-k／r的有心力场中的运动。采用极坐标（r，θ）则拉格朗日函数是,作勒让德变换，其哈密顿函数是，由于h中不显含θ，故有而有pθ＝常数。这就是角动量守恒。再联系到能量守恒，就可容易地解决这个问题。
由直角坐标变为极坐标所起的关键作用在于使H 中不显含θ,从而得到一个守恒律。如果作一典则变换（上述坐标变换也可扩充为典则变换）使某些坐标qi不出现在h中，那么也可以得到相应的守恒律pi=常数。这种qi称为循环坐标。守恒律就是典则方程组的初积分。利用它可以降低方程组的阶。这是求解典则方程组最常用的方法。
生成函数、哈密顿－雅可比方程 作典则变换φ:(p,q)(P,Q)最重要的方法是利用生成函数:在一定条件下存在函数S(p,Q)使得，于是
，。这是一个典则变换，S称为其生成函数。
一般地,S 可以显含时间t。可以证明S 适合偏微分方程
。 (4)(4)称为哈密顿－雅可比方程，简称H－J方程。
典则方程组(2)是(4)的特征方程组。由一阶偏微分方程理论知，可以通过求解(2)而得出H-J方程的解。但是还有与此对偶的一方面:即通过求解H-J方程得到S,而S是(2)之解作为典则变换的生成函数。从而可解出典则方程组(2)，其法如下：
作H-J方程的完全积分（见一阶偏微分方程）
，令（新的参数），,由它们解出q=q(t,α,b)，p=p(t,α,b)即得(2)的一族含2n个参数(α,b)的解。
以上指出的典则方程组与 H-J方程的关系之两个对偶的方面，有深刻的物理意义。人们很早就发现光的传播，服从一个与最小作用原理很相似的变分原理──费马原理，因而也可以作出典则方程组和 H-J方程的类似物。力学中的运动轨道相应于光学中的光线，光线是几何光学的基本概念。而生成函数S 所成的一族曲面S=常数,则相应于波前面,它是物理光学的基本概念。上述的二者的对偶关系正是反映了几何光学与物理光学的联系。力学与光学之间的这种类比，是量子力学的基础之一。
变分学与哈密顿方程 n自由度力学系(q1,q2,...,qn)的拉格朗日函数l(q,妜)＝T-U,其中T、U分别是力学系的动能和势能。哈密顿最小作用原理指出，力学系的运动q=γ(t)使作用
L(у)＝达到驻定值。由变分学知道，使L(у)达到驻定值的q=у(t)是欧拉－拉格朗日方程
(1)的解。这是n个二阶常微分方程,称为拉格朗日方程组。
经典力学研究力学系有两种途径。一是由 (1)研究(q,妜)随t的变化。{q}构成力学系的构形空间M,它是一个微分流形,妜是M的切向量。这种途径称为拉格朗日力学，可以说是力学的切丛表述。
另一途径是引入广义动量p=(p1,p2,...,pn),，同时通过勒让德变换引入哈密顿函数而得到(q,p)所满足的哈密顿方程组（或称典则方程组，见哈密顿系统）
,
(2)这个途径称为哈密顿力学。由于p是M的余切向量,哈密顿力学可以说是力学的余切丛表述。
在哈密顿力学中最小作用原理也有相应的表述形式，也可讨论拉格朗日函数与哈密顿函数显含时间 t的情况。
研究哈密顿力学的数学理论框架，也称为哈密顿形式化。它对许多数学分支以及力学、理论物理都有重大的意义。
典则变换 典则方程组(2)有许多重要的性质。例如，在运动轨道p=p(t)，q=q(t)上h(p,q)守恒，由于h=T+l，上式实即沿运动轨道机械能守恒。又如,任一力学量F(p,q)在运动轨道上恒适合方程
，{h,F}是经典力学中的泊松括号（见一阶偏微分方程）。
为了讨论典则方程组，最有效的方法是作一个变换
φ:(p,q)(P,Q)=(P(p,q),Q(p,q)) (3)使(2)化简,但由于典则方程组有如上的重要特性，所以仍希望保持其形状。这种变换称为典则变换。典则变换有一些等价的定义。例如，它可定义为保持泊松括号不变的变换。然而，因为有,故由(3)式所表示的P、Q也适合,。利用(3)中的φ 的雅可比矩阵φ1，上述可以表示为,若矩阵A（或线性变换A）适合A_1JA＝J，则称 A为辛矩阵（或辛变换），所以典则变换的雅可比矩阵都是辛矩阵。其逆亦然。所以典则变换也可定义为雅可比矩阵为辛矩阵的变换(3)。
典则变换的重要例子如下：设函数S(q,P)适合。令，则是局部的典则变换。又如，考虑典则方程组的初值问题：,,,它的解当｜t｜充分小时为微分同胚。{gt}称为哈密顿相流：(P,Q)=gt(p,q)。对于每个固定的t,gt都是典则变换。
典则变换的重要性可从下例看出：著名的开普勒问题是讨论质量为m 的质点在势能为U（r）=-k／r的有心力场中的运动。采用极坐标（r，θ）则拉格朗日函数是,作勒让德变换，其哈密顿函数是，由于h中不显含θ，故有而有pθ＝常数。这就是角动量守恒。再联系到能量守恒，就可容易地解决这个问题。
由直角坐标变为极坐标所起的关键作用在于使H 中不显含θ,从而得到一个守恒律。如果作一典则变换（上述坐标变换也可扩充为典则变换）使某些坐标qi不出现在h中，那么也可以得到相应的守恒律pi=常数。这种qi称为循环坐标。守恒律就是典则方程组的初积分。利用它可以降低方程组的阶。这是求解典则方程组最常用的方法。
生成函数、哈密顿－雅可比方程 作典则变换φ:(p,q)(P,Q)最重要的方法是利用生成函数:在一定条件下存在函数S(p,Q)使得，于是
，。这是一个典则变换，S称为其生成函数。
一般地,S 可以显含时间t。可以证明S 适合偏微分方程
。 (4)(4)称为哈密顿－雅可比方程，简称H－J方程。
典则方程组(2)是(4)的特征方程组。由一阶偏微分方程理论知，可以通过求解(2)而得出H-J方程的解。但是还有与此对偶的一方面:即通过求解H-J方程得到S,而S是(2)之解作为典则变换的生成函数。从而可解出典则方程组(2)，其法如下：
作H-J方程的完全积分（见一阶偏微分方程）
，令（新的参数），,由它们解出q=q(t,α,b)，p=p(t,α,b)即得(2)的一族含2n个参数(α,b)的解。
以上指出的典则方程组与 H-J方程的关系之两个对偶的方面，有深刻的物理意义。人们很早就发现光的传播，服从一个与最小作用原理很相似的变分原理──费马原理，因而也可以作出典则方程组和 H-J方程的类似物。力学中的运动轨道相应于光学中的光线，光线是几何光学的基本概念。而生成函数S 所成的一族曲面S=常数,则相应于波前面,它是物理光学的基本概念。上述的二者的对偶关系正是反映了几何光学与物理光学的联系。力学与光学之间的这种类比，是量子力学的基础之一。
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条