补充资料：流形上的偏微分方程

流形上的偏微分方程
artial differential equations on a manifold

(Jet bundie of maPpin那).在r)k)o时，有自然的纤维丛映射凡.、二Jr(司~尹(幻，它用局部坐标的表示就是略去所有}川>k的了.令尸，“二““，J一，(幻二N是很方便的，这时凡一:Jr(幻~N的定义方法同上(即略去所有的犷和州). 令产(Jr(兀))表示Jr(7z)上可微函数(之芽)的层(s」leaf)、它是一个环层.价(Jr(哟)的理想a的一个子层就是N上的一个:阶偏微分方程组(s那ton of Part山1differentjal equations of order r).方程组a的解就是一个截面s:N~M，而对一切f‘a均有fojr(、)=0.a的积分点(访吨阁po川tS)(即a在J『(7T)上的零点)的集合记作J(a).a的延拓(pro10列势石on)p(a)定义为N上的r十1阶方程组，而由f‘a(严格说应为.厂。兀r.，一，)以及。‘f(f任a)生成，这里。分在x已N处的;十1节八+’(s)上定义为 (。*f)(，;二(￡))一斋f(、;(‘))·在局部坐标(分，记，犷，“)中，形式导数(fonl创deri-论ti记)d“f由下式给出: af‘。.2，、‘刁f 刁‘f(x，u，夕)二.苦书r+乙夕口气”，’二牛于了， 日x“曰厂刁扩·”其中右方是对J=1，…，m以及所有适合}川簇r的:=(a、，…，a。)求和，而:(i)二(a、，一，a，一、，a，+l，a，十:，…，a。)，a，6{0，l，…}(夕o·’“u，). 方程组a称为在积分点:6少(二)处是对合的(泊切lu石代)(「Al】)，如果以下两个条件满足的话:i)对a在艺的零点，a是一个正则局部方程(比酬arlocal仪lu如on)，(即在公的一个开邻域U中，有a的局部截面s:，一，s:任r(U，住)，使得晓在U中的积分点正是使s，(z‘)=0的点:‘，而且de，，…，dsr在:‘处线性无关);il)存在:的一个邻域U，使得二汉、.，(U)门I(尸(a))是u自J(a)上的纤维流形(以兀r十:r为投射).对于由线性无关的刊几f形式。’，…，少生成的方程组a(即到几f方程组，见到血f问题(刊几行出1 problem))，这等价于在对合分布(involutiwdistribution)([ AZ]，1 A3」)中定义的对合性.和那种对合性的场合一样，需要讨论解. 令a为一定义在Jr(二)上的方程组，并设a在z任J(a)处为对合的.这时有:的一个邻域U满足以下条件。若万任J(了(a))且兀r+:，;(动在U中，则有a的定义在戈二二，+，一，(习的一个邻域上的解f，使在x处Jr+‘(f)=三. Car协n一食西延拓定理(Car加Ln一Kuranjshi Pro】on-脚ion tll印咖卜设有Pt(幼的积分点扩序列(t=0，l，…)能彼此互相投射(二，+:、。+:一，(z‘)二z，一’)而且:a)夕‘(a)是J(p‘(a))在:‘处的正则局部方程;b)有:‘在厂(a)中的一个邻域创，其在叭十r.。

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