补充资料：经典等周不等式

经典等周不等式
isoperimetdc inequality, classical

经典等周不等式【蜘户幻帐侧c妞q住山ty，山因口l;“3o-nep“Me甲H，ec幼e HeP姗.c，0姗ccH，ecKOe」 Euclid空间R”(n)2)中某一区域的体积V与构成该区域边界的n一1维超曲面面积F之间的不等式: n刀v。V月一1‘F”，其中v。是。维单位球的体积.等式仅当该区域为球体时才成立.经典等周不等式提供了等周问题(isopen-服tric prob」elll)的一个解.n=2，3情形下的经典等周不等式在古代已为人所知.经典等周不等式的严格证明在n=2时由F.Ed】er于1882年给出，n=3时由H.A.Schv泥uZ于18卯年给出，n)2时由Jl.A.月心口弋pH”五于1935年，E .Schmidt于1939年给出(见【l」，12」，【3」). 尽管在二维时经典等周不等式有多种证法(见【4J)，但当n>2时，所知的证明方法却只有两个.其一是J.撇iner提出的对称化方法.利用该方法，Sch-midt得到了经典等周不等式(以及Brunn·M让改。讹ki不等式)在球型和双曲型n维空间的类似不等式(【5]).第二种证法将经典等周不等式转化为一个BrUnn一Min-kowski不等式(见Bnlllll一N肠业。做如定理(Bn川n-Mitlko枯ki tllco~))并利用体积的比例除法.遵循这一证法可以自然地得到一个更一般的不等式 n·F一’(注)V(B)簇F”(A，B)，(*)它对于两集合A，B的体积V(A)，V(B)，以及集合A相对于集合B的M让改o锵ki面积F(A，B)成立.不等式(。)可看作是Minko挑ki空间的经典等周不等式;对于一个固定的Minko挑ki球B，一般来讲，使得等号成立的凸体A并不唯一，而且它们也不同于“球”([6」). 经典等周不等式有种种推广.在这些推广中，人们不是考虑那些具有逐段光滑边界的区域，而是考虑更为广泛的集合类，并且在更广泛的意义下来考虑边界的面积(Minko粥ki面积，玫比g尤面积，集合的〔达Cciop伪】i一众曰。匆周长(详ri帐ter)，或者流的质量，见【71，【8」).经典等周不等式在这些情况下仍然成立，另外，对于自相交的超曲面以及相应的有向体积，该不等式也成立(见f91).这些推广可以通过在不同收敛意义下取极限的方法从经典等周不等式得到. 对于等周差F”一丫v。沪一’和等周比F”Vl一”的已知的估计是对经典等周不等式的加强(见【2』).其中的一些估计是对具有特殊形状的集合，首先是凸集(convexset)和多面体而做的(见【101).这方面的一个例子是平面图形的B..”日l不等式(Bo~en in叫珑山ty): 万，一4兀F)(F一4兀r)，，其中;是该图形的最大内切圆半径，以及该不等式对于R”中凸体的推广(见【11〕): r·，(，一’)(通，刀)一n”，(”一’)F(A)V，l(”一’)(B)) )[F(A，B)一n”l(”一’)。

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