什么是曲线积分??
先看一个例子:设有一曲线形构件占xoy面上的一段曲线 ,设构件的质量分布函数为ρ(x,y),设ρ(x,y)定义在l上且在l上连续,求构件的质量。对于密度均匀的物件可以直接用ρs求得质量;对于密度不均匀的物件,就需要用到曲线积分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds;l是积分路径,∫ρ(x,y)ds就叫做对弧长的曲线积分。
定义:
设l为xoy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在l上有界,在l上任意插入一点列m1,m2,m3…,mn 把l 分成 n个小弧段δli的长度为ds,又mi(x,y)是l上的任一点,作乘积f(x,y)i*ds,并求和即σ f(x,y)i*ds,记λ=max(ds) ,若σ f(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在,且极限值与l的分法及mi在l的取法无关,则称极限值为f(x,y)在l上对弧长的曲线积分,记为:∫f(x,y)*ds ;其中f(x,y)叫做被积函数,l叫做积分曲线,对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。
曲线积分的类别:
曲线积分分为:对弧长的曲线积分 (第一类曲线积分)
对坐标轴的曲线积分(第二类曲线积分)
两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别;对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds;例如:对l的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy,例如:对l’的曲线积分∫p(x,y)dx+q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义,通常说来都是正的,而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。
两种曲面积分的联系:
对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分是可以互相转化的,利用弧微分公式ds=√[1+(dy/dx)^2]*dx;
或者ds=√[1+(dx/dy)^2]*dy;这样对弧长的曲线积分都可以转换成对坐标轴的曲线积分了。