补充资料：Abel函数

Abel函数
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A加班函教tA娜叨竺了)爪.、。fllnction)概念在弟复变量情形的一种推广.在复空间C刃(P)l)中变量为“、，一，:;、:二〔:l二，:。)的亚纯函数以幼称为Abel函数，如果在f尸中有一ZP个行向量 、，=(、卜，一，吟力，“二l，一，饥它们在实数域上是线性无关的并且使得对所有的:任〔’”、有厂(:十、v)=f仓)，v“1，二，Zp.向量*、称为Abel函数f(“)的周期(peri础)或周期季(s ysten‘(’f perl-eds) Abel函数力二)的所有周期在加法下成为Abel群r，称为周期攀《period group)(或周期撑(perl叱modu兄)).这个群的基称为Abel函数的周期基系 (basls system of periods)，或称为基本周期系(systemof basle(或prlmltive)详riods)，Abel函数了(:)称为退侈的(de罗nerate)，如果存在变量“】厂，一刃，的一个线性变换，它将f仕)变为一个较少变量的函数;否则f(z)称为非退化Abel函数( non一de罗nerate/由elianfunCtion).退化Abel函数是由具有无穷小周期来识别的，即对任何。>0都可找到一个周期w，使得 {}、、。一斌不不<“如果P二l则非退化Abel函数是单复变量的椭圆函数.每个带周期群r的Abd函数自然地等同于复环面拟)mPlex torus)(‘护/r(即商空间Cp厂r)_t几的‘个亚纯函数(见拟^加l函数(quasi一八t，clian functlon)). Abel函数的研究开始十19世纪，当时它与第一类A阅积分(Abeljan，ntc『aZ)的反演(见J即曲i反演问题(Jacob，inversion problem)，〔l〕，【2」)有联系.r月解这个问题得到的Abel函数称为特殊Abe]函数(spedal Abelian functions少;在早期的上作中，只有这样的函数有时才被认为是Abel函数.命。、一u，为在Riemann曲面F上构造的第一类线性无关的正规Abel积分: “，三了、卜一价兰了啊· 自气并命 “二了du尸-一一，厂du，，一户‘·一: 。户为一个给定的和系，其中积分下限c.二。，固定在曲面F上一于是可定义特殊Abel函数为上限、。，二，林的具有p个坐标的所有有理函数，后者也可看作F上p个点:、，二、::的函数.用K，weie玲trass引进的记号，任何特殊Abe]函数AI仁)都可表为 川(z)二Al(:!1.，.，动 二川X;(:〕、..钊.今伍..几球相应于特殊Abel函数的复环面C夕z「是代数曲线的Jacobi簇(Jacobi varieties). 矩阵W称为Abel函数f(z)的周期矩阵(periodmatrix)，指它的列向量是Abel函数f(z)的周期基，具有维数px Zp一个给定的pxZp维矩阵w为某一非退化Abel函数的周期矩阵的充分必要条件是它满足下列条件(Riemann一Frobenius条件(Riemann一Fro-benius conditions)):它必须是一个Riemann矩阵恨iemann matrix)，即必须存在一个元素是整数而阶数是ZP的反对称非退化方阵M，使得1) wMW丁二0，其中wT是w的转置矩阵;2)矩阵1 wM评T确定一个正定He皿ite型([3」).如果条件l)和2)分别表为方程和不等式，就得到一个由P印一l)/2个Riemann方程(Riemann equations)所成的方程组和p(P一l)/2个Riemann不等式(Riemann inequali-ties).数p称为矩阵万和相应的Abel函数f(习的亏挣(罗nus)·W的列向量w、一Rew，+ilmw，，看作是实Eudid空间RZ，中的向量，它定义了f(z)的周期超平行体(period Parallelotope). 对应于相同周期矩阵W的所有Abel函数构成一个Abel函攀举(Abelian function field)K，·如果域K二包含一个非退化Abel函数，那么它在域C上的超越次数是P;于是环面Cp/r是一个Abel簇(Abelian variety)，而K二变为它的有理函数域.另一方面，如果K二的所有户七el函数都是退化的，那么K二同构于一个维数低于P的Abel簇上的有理函数域.亦见拟Abel函数(quasi一Abelian function). 与椭圆函数的情形一样，任何Abel函数都可表为两个整超越0函数的商(见0函数(t heta一几nction》，它也可表为e级数(t heta一series)一个给定的Riemann矩阵W可决定一类0级数，由它可以构造域Kw的所有Abel函数. 对特殊的Abel函数，利用独立变量z:，…，z，的线性变换常可以将矩阵W变为如下形式: }}，i…o。..…。:川 】l’---一曰一IPll W二11···..……，二，…l! 11”“’盯‘arl‘.肠} 这时矩阵}}隽*”(j，k=1，…，p)的元素之间的Rie-mann关系，保证了矩阵的对称性aj、二a*，和实部矩阵 IIRe马*11(j，k=l，…，川的正定性.然而，当p>3时， 11 aj*l}的元素码*中仅有3(p一l)个独立元素，即 和在其上反演问题可解的Riemann曲面F的保形参 模的个数一样多(见形恤ann曲面的模(moduli ofa R记mann su血。)).除Riemann关系以外，在此情形 马*之间有印一2)印一3)/2个超越关系，在p=4的情 形，这些关系的明显形式是F.S由ott幼在1886年 首先发现的;关于这个领域的以后发展的回顾见[5 1.特殊的Abel函数可以表为属于一个特殊类型的两个具有半整数特征数的整0函数的商.这些表示给出特殊Abel函数的许多性质，它是椭圆函数的许多性质的拓广.因此，Abel函数f(z)关于任意变元zj的导数是Abel函数;任意p十l个Abel函数满足一个代数方程;任何Abel函数都可用某P十l个Abel函数有理地表示，例如可以用任意Abel函数和它的P个一阶偏导数表示;Abel函数满足加法定理(a ddition theo-rern)，即Abel函数在点a+b〔Cp上的值可以用某p+1个Abel函数在点a，b‘C夕上的值有理地表示. Abel函数在代数几何学中具有重要的意义，它可作为某一类代数簇的单值化(u nifonnization)手段.【补注】周期基系也称为周期基(period basis).除了[5]以外还可参考更新的[AI].Riemann一Frobinius条件也称为Riemann双线性关系(Riemann bilinear rela-tions)或简称为Rleroann关系(Riemann relations).schottkyl’gl琴(s chottky Problem)关系到满足Rie-mann条件的矩阵空间中所有Jaco饭行列式空间的描述.它最近已被解决，见J即曲i簇(Jacobi variety).

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