[编辑] 竞赛知识点拨

一、 平移变换

1．　 定义 设是一条给定的有向线段，t是平面上的一个变换，它把平面图形f上任一点x变到x‘，使得=，则t叫做沿有向线段的平移变换。记为xx’，图形ff‘ 。

2．　 主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。

二、 轴对称变换

1．　 定义 设l是一条给定的直线，s是平面上的一个变换，它把平面图形f上任一点x变到x’，使得x与x‘关于直线l对称，则s叫做以l为对称轴的轴对称变换。记为xx’，图形ff‘ 。

2．　 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。

三、 旋转变换

1．　 定义 设α是一个定角，o是一个定点，r是平面上的一个变换，它把点o仍变到o（不动点），而把平面图形f上任一点x变到x’，使得ox‘=ox，且∠xox’=α，则r叫做绕中心o，旋转角为α的旋转变换。记为xx‘，图形ff’ 。

其中α<0时，表示∠xox‘的始边ox到终边ox’的旋转方向为顺时针方向；α>0时，为逆时针方向。

2． 主要性质 在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。

四、 位似变换

1．　 定义 设o是一个定点，h是平面上的一个变换，它把平面图形f上任一点x变到x‘，使得 =k·，则h叫做以o为位似中心，k为位似比的位似变换。记为xx’，图形ff‘ 。

其中k>0时，x’在射线ox上，此时的位似变换叫做外位似；k<0时, x‘在射线ox的反向延长线上，此时的位似变换叫做内位似。

2．　 主要性质 在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心。

[编辑] 竞赛例题剖析

【例1】p是平行四边形abcd内一点，且∠pab=∠pcb。

求证：∠pba=∠pda。

【分析】作变换△abp△dcp’，

则△abp≌△dcp‘，∠1=∠5，∠3=∠6。由pp’adbc，adpp‘、pp’cb都是平行四边形，知∠2=∠8，∠4=∠7。由已知∠1=∠2，得∠5=∠8。

∴p、d、p‘、c四点共圆。故∠6=∠7，即∠3=∠4。

【例2】“风平三角形”中，aa’=bb‘=cc’=2，∠aob‘=∠boc’=60°。

求证：ｓ△aob‘+ｓ△boc’+ｓ△coa‘<。

【分析】作变换△a’oc△aqr‘，△boc’△b‘pr’‘，则r’、r‘’重合，记为r。p、r、q共线，o、a、q共线，o、b‘、p共线，△opq为等边三角形。

∴ｓ△aob’+ｓ△boc‘+ｓ△coa’<ｓ△opq=

【例3】在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。

【分析】取ac、bd的中点e、f，令aca‘c’，则a‘bc’d是一个符合条件的平行四边形。延长af、cc‘交于g。

∵e是ac的中点且ef∥cc’，fc‘∥ec，∴f、c’分别为ag、cg的中点。

∴ad+bc=bg+bc≥2bc‘=a’d+bc‘。

同理可得ab+dc≥a’b+dc‘。

故当四边形为平行四边形时，周长最小。

【评注】当已知条件分散，尤其是相等的条件分散，而又不容易找出证明途径，或题目中有平行条件时，将图形的某一部分施行平移变换，常常十分凑效。

【例4】p是⊙o的弦ab的中点，过p点引⊙o的两弦cd、ef，连结de交ab于m，连结cf交ab于n。求证：mp=np。（蝴蝶定理）

【分析】设gh为过p的直径，ff’f，显然‘∈⊙o。又p∈gh，∴pf’=pf。∵pfpf‘，papb，∴∠fpn=∠f’pm，pf=pf‘。

又ff’⊥gh，an⊥gh，∴ff‘∥ab。∴∠f’pm+∠mdf‘=∠fpn+∠edf’

=∠eff‘+∠edf’=180°，∴p、m、d、f‘四点共圆。∴∠pf’m=∠pde=∠pfn。