补充资料：M(o)bius平面

M(?)bius平面
Mbbius plane

M议城旧平面[M‘biusp腼e;M范6畔an加e劝cT‘]，圆平面(cil℃ular plane)，反演平面(m，℃侣e phne) 一个平面，其元素组成两个不相交的集合:点的集合和圆的集合，且被赋予一个(关于点和圆的)对称关联关系.关联关系满足以下公理: 功任意三个不同的点与一个而且仅仅一个圆关联; 2)给定在圆下上一点A和不在圆下上的一点B，存在唯一的圆通过点B而且与圆下的唯一公共点是A; 3)存在至少四个不同的点不与同一个圆关联.每一圆至少与三个不同的点关联.如果把M比油平面的一个点称为理想点，而把与该点关联的圆称为直线，则可得一仿射平面. 在三维射影空间尸3中，一个卵形面(。翎id)o的点和与此卵形面在多于一点相交的所有平面，赋予从p3继承的关联关系，形成一M6b油平面M(。)(见【1」).一个M6bius平面称为卵形的，如果它同构于某一卵形面。的M(o).所有卵形M 6blus平面中最著名的是模型M(S)，其中S是三维E议山d空间的球面，此平面同构于M(c)，此处。是实数域上三维射影空间中的一个非直纹二次曲面. 一个M6bius平面称为有限的，如果它含有有限个点和圆.M6bius平面中每个圆所含的点数相同，而且通过此平面上每一点的圆的数目相同.由定义，M6bius平面的阶是其圆上所含点的数目减一.一个刀阶M6blus平面含有矿+1个点和n(矛+l)个圆;经过每一点有n(n+l)个圆.下述的n一p‘阶MObl璐平面是熟知的.此平面上的点是Galois域(C饱】。isfield)GF(护六)的元素和理想点{二};其圆是集合K=GF(p人)日{二}在如下形式的置换群之下的象: x~(xaa+c)/(x“b+d)，a，b，c，d任GF(夕，，)， ad笋bc，:任Aut(GF(夕，‘)). 阶数为n的M6bius平面存在的一个必要条件是同一阶数的有限仿射平面的存在性.阶数为n二2，3，4，5，7，11的M6bl璐平面的唯一性已经证明(【5」).如果一阶数为。的M6bius平面包含一阶数为m之真子平面，则m‘n(11父吐2)而且m+m落n(见[2」).M6biuS平面的分类已经完成(见[3]，[4』).这些平面以其发现者A.M6bi璐而命名，A.M6bi璐(1855)莫定了圆的理论的基础.【补注】关于更多的新的进展，见「AI]中1 .M.Y电，fom，J .F .Rigby，J .B .W习ker和N .W .JohJ昭。n所撰章节.

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