补充资料：Riemann曲面的共形类

Riemann曲面的共形类
Riemam surfaces, conformal classes of

Ri.l旧1.1曲面的共形类【Riam.n。灿而ces，c加6价llaidassesof;P皿Ma皿o二xn曲ePxltoeTe蓝Ko.中oPM““e红accHI 由共形等价Rian翅口l曲面(凡en阳田。surface)组成的类.闭形cn迫nn曲面有一简单的拓扑不变量—其亏格弱此外，亏格相同的任何两个曲面是同胚的.在最简单的情形下、两个Rie宜必川1曲面的拓扑等价性保证它们是同一Rien益nn曲面共形类的元素即它们的共形等价性，换言之，保证它们的共形结构相同.例如，对于亏格为O的曲面即同胚的球面，情形就是如此.一般地说，情形却非如此.B.侧e订哈nn早已注意到，亏格g>1的Ri~nn曲面的共形等价类依赖于3夕一3个称为Ri~曲面的(参)模(mo-duli of aRi已比以nn surface)的复参数;对于共形等价Rien笼mn曲面，这些模相同.9=l的情形在本条第四段描述.如果考虑亏格为g并具有n个解析边界分支的紧Rien拍田的曲面，则为使这样的曲面共形等价，必须有69一6十3n个实模参数(g》O，n)O，69一6+3”>0)相同.特别是，对于”连通(”)3)平面域，有3n一6个这样的模;任一双连通平面域共形等价于具有某个半径比的圆环. 上面提到的Rie几以nn的观察是经典瓦e打迢朋曲面(参)模问题(moduli Problem for侧~surfa-ces)的起源，这个问题研究在可能情形下引进的这些参数的性质，在引进时要使得它们能在给定亏格g的凡。m以nn曲面的集合上定义一个复解析结构.对于(参)模问题，有代数方法和分析方法这两条途径.代数方法与研究Ri.比以nn曲面S上亚纯函数的域K(S)联系起来.在闭曲面情形下，K(S)是代数函数域(对g“0是有理函数域，对g=1是椭圆函数域).每个闭Ri日rr曰叮n曲面S共形等价于由一个方程尸(z，w)=O定义的代数函数的Riell.nn曲面，这里尸是C上的不可约多项式.这个方程确定了一条平面代数曲线(al吵raic curve)X，且X上的有理函数域等同于S上的亚纯函数域.RieIT以nn曲面的共形等价性对应于它们的代数函数域的双有理等价性(一致性)或这些曲面确定的代数曲线的双有理等价性，后两者是相同的 分析方法基于Rie叮以nn曲面的几何和解析性质.结果证实通过设置拓扑限制来减弱Rie叮以nn曲面的共形等价性是方便的，代替给定亏格g)1的R比狂阳田叭曲面S，考虑偶(S，f)，其中f是某个亏格为g的固定曲面S。到S上的一个同胚;两个偶(S，f)和〔S‘，f’)看作等价，如果存在共形同胚h:s一，S‘，使得映射 (.f‘)一’0 h of:S。~S。同伦于恒等映射.等价类盗(S，f)}的集合称为曲面S、、的Teichm曲er空间(1七沁知m川卜r sP旷e)T(S。).在T(S。

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