补充资料：和函数

和函数
sum function

　　z(;)=Li(x)一艺Li(x‘」)一1092+ ，f dt 一十.一一一一一兰上一一一一一 干不L‘一l)109[的v()11 Mongoldt的另一表示，其中x>l，J函数(J-于飞1 11e tio:1)是 J(·卜孔、二粉，:，:]，lr一J Li(.、)是对数积分(10助ritllnlic inte脚l) ，__、_1:_「’「‘d。.亡d:l Li〔.戈)二1121111一卫+l止】止二一} 、OL石109 rl丫:logt」和函数【姗彻Ktioll;cyMMaTopH‘打n网H，」，函数f白勺 x)l的函数，表示在自然数集月簇x上函数.厂的值j(。)的和艺，、、.八。).和函数是表示数列的各种性质的基本方法之一 和函数举例:钱x的素数的个数;少(x)=艺、二八(”)—qe6““e“函数(Chebyshev fullction);所有。成x的除数的个数，等等.(见11]，【2]). 基本问题是找出和函数的尽可能精确的表示式，而对于没有渐近式的和函数，则是寻求当x取大值时它的模的最佳估计. Ca理hy积分定理(Cauchy integrulthe~)和形如 F(。)=艺f(。)n一 月二!的场dchlet级数(D流』Uetsenes)是研究和函数的解析方法的基础.如果这级数当Re:>a。)1时绝对收敛，则对于非整数x及c>叮。，等式 Xr、。)一招一{:(、)羊、、 认’“’2瓜。_兮二一、一s成立.由此及利用F(s)的解析开拓，移动积分路径至左边某直线Res=吓.<0，再沿新的路径估计积分，就可以得到对和函数f的相应的估计.例如，当/(n)=A(叼时，积分可以移至Re、二一的上，则得到关于少(x)的Ri~一von Mallgoklt公式.在这个方法的通常应用中，下面的定理是已知的: 假设:f(n)，l。是复数，!)o，:r，下，是实数，氏，吞r是正数，拜和v是)1的整数，r是，111-ma函数，及元t<又:<·… 一)对于任意。>o，f(n)<1十仪上定义的函数 F(、)=艺f(。)。一“ 口匕!在全平面上是亚纯的，且在带形。，簇叮簇口2内有有限多个极点; 3)当。<0时，级数艺二，l。exp(又。s)绝又巾次敛; 4)对于，<0， 尽r(:r+。。、):(、)- v丈 一只r(?一“/“)。冬;‘。exp(、。、); 5)刀，+‘二+口，=占】十二+占，; 6)如果假设有 艺，r一全:，十粤(。一，)一。， r易‘厂，瞥一『2则叮)仪+1/2. 对于固定的带形域a:镬6蕊。2，存在常数?二下(『，，JZ)，使得估计式F(、)<< exp(下}tl)在a.簇二毛叮:及大的}tl上成立. 结论:对于任意。>O，有 艺j，(，:)一R(x卜。(二“·十”‘，”一‘，“，，+，，，十，)， 目共尤此处R(x)是函数F(s)，‘/s在带形 (:+1咤卫早李<。、:+1 2叮+l中所有极点上的残数和.【补注】关于少(x)(x>I)的Riemann一von Man-即ldt公式(Rielnann一von Mangoldt fonnula)，或者von Mangoldt公式(von Mango】di fomlula)是 州二)一、一艺兰+艺共兰+常数. 丫p丫Zn.-一一这是凡emalln主要公式(Rien飞Innn必川fonnula)
　　

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