补充资料：环中的整除性

环中的整除性
divisibility in rings

环A中的一个元素a称为可被另一元素b〔A整除的(山油ibk)，如果存在c6A，使得a二玩.此时也称b整除a，并且称a为b的倍元〔功血」ple)，b为a的约元或除子(dj访扣r).用符号b}a表示。可被b整除;一 任一结合交换环显然具有下述整除性质: 如果b}a且c}b，则e}a: 如果训a，c笋0，则cb}ca; 如果e}a且e!b，则e}(a土b).这后两条性质等价于说可被b整除的元素的集合构成环A的一个理想bA(由元素b生成的主理想).当A是有么元的环时，此理想含有b. 在整环中，元素a和b可同时互相整除(川b且bla)，当且仅当它们是相伴的(侧铝。c祖ted)，即a‘动，其中e是可逆元.两个相伴元生成同一个主理想.根据定义，单位除子即是可逆元.环中的素元(pnn祖ele~nr幻t)是不含单位除子之外的其他真除子的非零元素.在整数环中，这样的元素称为素数(pnlr‘nUmb二)，而在多项式环中这种元素称为不可约孚项式(谊曰佣iblepol”刃m训).如果一个环，像整数环或多项式环那样，在其中有素因子分解的唯一性(在不考虑单位除子以及素因子序列的次序的意义下)，则称此环为唯一分解环(脉to阔rlllg).在这种环中，任一有限的元素集合都有最大公约元及最小公倍元，这两个量在可能相差一个单位除子的意义下都是唯一确定的.环中的整除性汇曲翻皿吟加万卿;月e月HMoc、。。月‘，ue] 不带余数的整除性概念的推广(见除法(di啼沁n)).【译注】在众多文献中，上面所定义的素元称为不可约元(沂曰‘iblee】。rr屹”t)，而素元是如下定义的:整环中非零元素P称为素元，如果对于环中任意二元素a，b，都有Plab冷Pla或川b.素元必为不可约元，但反之并不成立.当且仅当环是唯一分解环时，素元与不可约元是同样的.

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