补充资料：数

    　　关于事物量的规定性的一种抽象。数概念从自然数开始，逐步扩张为整数、有理数、实数、复数等。人们在数学研究中先总结出自然数，即正整数。在自然数系统中可实施加法和乘法的运算，但不可以永远实施减法。为了解决减法运算的需要，人们把自然数概念扩充到负整数，并引进零。自然数加上负整数和零就构成整数系统。在整数系统中，虽然可实施加法、乘法和减法的运算，但仍不可永远实施除法。这就需要进一步扩大数的概念，即引进分数。整数和分数组成有理数系统。人们除了建立有理数外，还建立了无理数。有理数和无理数组成实数系统。从16世纪起,数学家在解方程中引进"虚数"。虚数和实数一起构成复数系统。后来，数学家们还把数概念推广到四元数、超复数等。
　　
　　数概念的形成和发展,除了社会实践的需要以外,还与整个数学理论的发展密切相关，特别是与数学基础的研究相联系。1,2,3,...等数被称为"自然数"，是相对于"人造数"而言的。19世纪下半叶，数学家在分析算术化的过程中，已表明人造数的理论可以还原为一种自然数理论，或者说可以用自然数构造"人造数"。这样，每一类"人造数"，连同在该类数上进行的运算（如加法和乘法），就都能用自然数以及自然数的运算定义或推导，从而也使数学家们把讨论的中心放在自然数的本质上。经过数学家和逻辑学家的一系列努力，到1891年意大利数学家G.皮亚诺终于完成了自然数的公理化工作。他把自然数1作为原始概念，把其余的自然数定义为1的"后继、后继的后继，......"，并给出有关自然数系统的五条公理，这就使数概念有了一个较为严整的逻辑基础。
　　
　　数学哲学家们曾对自然数的本质作出了各种定义和解释。逻辑主义者G.弗雷格和B.A.W.罗素先后各自独立地给出数的纯逻辑定义，即数是相似类的性质。这个定义对数学不一定必要,但从逻辑的观点来看,是有积极意义的。直觉主义者L.E.J.布劳维尔把数视为智力的产物，认为人们除了可以通过计数的方法或类似构造的程序对数作出检验外，关于数的任何东西都是不真实的。形式主义者认为，数只不过是出现于纸上和黑板上的特定符号；数论也只不过是一种具有操作规则的符号系统。直觉主义和形式主义关于数的定义，从根本上说，都否定数概念的实践来源和客观内容。辩证唯物主义认为，数概念形成的基础首先是人类的社会实践和科学实验，数概念的内容是事物数量关系的抽象反映，所以它在本质上是客观的；数码符号虽然是人造的、约定的，但并不否定这些符号所代表的数概念的内容的客观性。
　　

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