补充资料：基本矩阵

基本矩阵
fundamental matrix, matrizant

【补注】术语“矩阵元”通常已不再使用;改以‘转移矩阵”(伙u巧ition打砂t巧x)来称呼基本矩阵已逐渐普遍化了.亦见基本解组(丘m山此ntals岁忆m of 501价tio佰). Quchy公式通常称为常量变差公式(va刀ationofco飞饭n匕fonn田巨)，而Q滚hy矩阵也称为转移矩阵(亦见(汤理由y矩阵(Quchy Inatrix)).基本矩阵〔加目叨.血.“.州x，叹.州.峨;M.Tp.朋aHT] 在点t。规范化的线性常微分方程组 交=A(r)x，x‘R”(*)的解的转移矩阵X(:).如果矩阵值函数A(t)在某区间J仁R(t eJ)上是局部可积的，则基本矩阵是矩阵初值问题 X“A(t)X，X(t0)=I(I表示单位阵)的唯一连续解. 由方程组(*)的列解x，，…，凡构成的每个矩阵M(t)可表为M(t)=X(t)M(t0)，其中m是自然数.特别地，(，)的每个解可写成形式x(t)=X(t)凡· 展开式 x(!)一，+i，(·)、、+了、。，)，、。、+… 10 Iot。对每个t‘J绝对收敛并在J中的每个紧区间上一致收敛且U喇叻血一ocTporpa八饮I.‘公式(肠uviUe-伪加脚由ki fonn川a)，x(‘)一exn丁sp，(:)。 盆0成立.如果矩阵A(t)满足肠ppo一八~K丽条件(场ppo一D知皿e垢喻田nditi山) 之亡 、(犷卜丁，(s)*一f，〔:)、、·，(才)， 勿尹。那么 x(t)一expJ，(:)J、. tQ特别地，如果A(t)三A是常数矩阵，那么 X(艺)一e·(卜r。).如果戈(t)是带有矩阵A(t)的方程组(，)的基本矩阵，那么 戈十，(l)二戈(t)凡(t)，其中 D(t)“【戈(r)}一’刀(r)戈(t). 基本矩阵使得有可能将非齐次方程组 交=A(r)x+b(t)(其中函数b(t)在J上局部可积)的每个解写成QuClly公式的形式 x(。)一X(:)x(。。)+丁C(。，，)b(、)ds，，〔J; 盆D其中 e(r，s)二x(t)(X(s)]一’称为(*)的CauChy矩阵(Q哎hyn吸tn蕊).0以为y矩阵C(t，s)在JxJ上关于它的自变量是共同连续的并且对任意艺，s，r任J有性质 l)C(t，s)“C(t，t0)[C(s，t。)]一’: 2)C(t，s)‘C(t，r)C(r，s); 3)C(、，r)=【e(t，s)」一’: 4)C(r，t)“I; 5)。e(。，s)}、ex可:。，(r){J;，、、，，其中}·，是R·中的范数; 6)如果H(t，s)是伴随方程组 交=一注’(t)x的Ca邃hy矩阵，那么 H(t，S)=[C‘(t，s)]一‘.

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