补充资料：范畴的投射对象

范畴的投射对象
projective object of a category

　　范畴的投射对象t户水浦veJ杠t of a.魄0叮;叩oe-川阳“10眼盯K瑰rop“HI 将自由群，自由模等等的收缩核(或直和项)的性质形式化的一个概念‘范畴凭的对象P叫作投射的(proJ咖记)，即指对任意满态射(ePlmorphism)v二A、B和任意态射v:P~B，必存在态射下‘二P一A，使下=下‘v.换言之，对象尸是投射的，是指从只到集范畴弓的表示函子H，(X)=Hom(P，X)将凭中的满态射变成马中的满映射. 例.1)在集范畴中，每个对象都是投射的.2)在群范畴中，仅有自由群是投射的.3)在有l的结合环A的左模范畴、纽中，一个模是投射的，当且仅当它是自由模的直和项.对使得每个投射模都是自由模的环的刻画构成了Serre问题(Serre proUeln)的内容.4)在范畴\叭中，所有的模都是投射的，当且仅当环A是经典半单的.5)在从一个小范畴(521〕al』口t4男ry)勿到集范畴弓的函数范畴子(勿，弓)中、每一个对象都是投射的，当且仅当勿是离散范畴. 在投射对象的定义中，有时假定函子H，并不将全体满态射，而仅将某一类特殊的满态射C变成集合的满射.特别地，若C是双范畴(介，C，叭)的容许满态射类，则P叫作容许投射对象(adm毗ible pro-Jo以jVe objeCt).例如在某些群簇中，簇中的自由群是相对于所有集合满同态类的容许投射对象，但不是投射对象，因为存在不是集合满同态的满态射. 与投射对象对偶的概念是内射对象〔injeCt主记ob-」ect)投射和内射对象的基本作用最先在同调代数中被研究.在模范畴中，每个模均可表示为投射模的商.这一性质使得可以构造投射分解并研究各种各样的同调维数.【补注】例l中关于集范畴中的每个对象均为投射对象的断言也是阐述选择公理(a刀。m of ehi〕iee)的一种途径，上述关于特殊范畴中投射对象的其他大部分断言都以某种方式涉及选择公理例如自由Ab日群是投射的这一论断已被证明与选择公理等价(仁All)，尽管每个Abe]群是投射对象的商这一论断要弱一沙匕
　　

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