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1)  The monotony characteristics of continuous functions
连续函数的单调性
2)  continouity of sum function
和函数的连续性
3)  continuity of function
函数的连续性
4)  zncreasing continuous singular function
奇异单调连续函数
5)  monotonicity of function
函数的单调性
1.
A good many contradictions of math education assembles at the first lesson of "monotonicity of function",which constitutes challenged to the teaching design and planning and teaching process for every math teacher.
"函数的单调性"的第一课时聚集了数学教学的诸多矛盾,它的教学设计和教学过程对每个数学教师都是一个挑战。
6)  monotonicity and continuity measure
测度的单调性与连续性
补充资料:函数的连续性
      描述函数的一种连绵不断变化的状态,即自变量的微小变动只会引起函数值的微小变动的情况。确切说来,函数在某点连续是指:当自变量趋于该点时,函数值的极限与函数在该点所取的值一致。
  
  一元连续函数  设函数??(x)在x=α附近(包括x=α处)有定义。若
  
  
   ,
     (*)亦即:对任给ε>0,必有δ>0存在,使当|x-x0|<δ时,恒有|??(x)-??(α)|<ε,则称??(x)在x=α处连续,α为??(x)的连续点。
  
  如在(*)中,x →α改为x →α-0或x →α+0,即限定x<α或x>α,则称??(x)在x=α处左连续或右连续。显然??(x)在x=α处连续的必要充分条件为它在α处左、右都连续。
  
  如存在,但A≠??(α)或 ??(α)没有意义,则称??(x)在α处为可去间断(可去不连续),因为这时只要改变或补充定义??(α)使其等于A就可使它变得在α处连续;因此,这种不连续常常算作是连续的。如果x→α时,则称??(x)在α处有第一类间断,B-A称为其跃度。不属于上述情况的不连续点都称为第二类间断。
  
  如果??(x)在一开区间(α,b)内每一点都连续,则称??(x)在开区间(α,b)内连续。??(x)在一闭区间[α,b]上连续是指:在开区间(α,b)内连续,而在α处右连续和b处左连续。
  
  由此可确切定义几何名词连续曲线。设平面曲线 C可写成参数方程
  x =x(t), y =y(t) (α≤t≤β),其中x(t)、y(t)都是[α,β]上的连续函数,则称C是连续曲线。此定义显然可推广到空间曲线甚至一般的 n维空间中的曲线上去。
  
  连续函数的性质
  
  ① 如??(x)、g(x)都在x=α处连续,则??(x)±g(x),??(x)g(x), (只要g(α)≠0)也在x=α处连续。
  
  ② 如??(x)在x=α处连续,且??(α)≠0,则必在x=α的某一小δ邻域(即|x-α|<δ)中,??(x)不变号,即??(x)与??(α)同号。
  
  ③ 在闭区间上的连续函数,必有上界和下界,且有最大值和最小值,并能取最小值和最大值之间的一切中间值。
  
  还可证明,所有初等函数在其有定义的区间上都是连续的。
  
  设I为一闭或开的区间,如果任给ε>0,必有δ>0存在,使对I中任何两点x,x′,只要|x-x′|<δ,便有|??(x)-??(x′)|<ε,则称??(x)在I上一致连续。关于一致连续性有下面的重要定理:在闭区间上的连续函数一定在该区间上一致连续。这一定理有时称作康托尔定理。
  
  多元连续函数  设为一 n元函数,这里x=(x1,x2,...,xn)为n维向量或n维空间中一点,而α=( α12,...,αn)为一定点。如果(1)式成立,亦即对任给ε>0,必有δ>0存在,使当或者
  时,恒有 |??(x)-??(α)|<ε,则称??(x)在α处连续。也可类似地定义??(x)在n维区域G中连续和一致连续。不过,当α是??(x)定义域G边界上的一点时,在上面定义中要限制x在G及其边界上。
  
  一元连续函数的上述性质都可推广到多元函数上来,康托尔定理这时也成立,不过在其中区间I要换成有界闭区域。和连续曲线类似,也可定义连续曲面等等。
  
  以上连续函数的定义也可推广到复变量的复函数上来(见复变函数)。
  
  连续函数的定义还可推广到一般抽象的拓扑空间的情况。设X,Y是两个拓扑空间,??:X→Y是把X映入Y的一个映射,又α∈X,如果对于??(α∈Y的任一邻域,存在着α的一邻域Uα,使
  ,则称??在α点连续。如果??在X中的每一点都连续,则称??为X到Y的一连续映射。
  

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