补充资料：椭圆型算子

椭圆型算子
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　　流形上的算子A的椭圆性意味着，写成局部坐标时，由A所得到的算子是椭圆型的.等价地，这个椭圆性可用主象征‘的可逆性来描述，这里‘是T.X\0上的函数，T’X是X的余切丛，T’X\o是X的没有零截面的余切丛，如果A把向量丛E的截面映为另一个向量丛F的截面，即A二C国(X，E)~C.(x，F)，那么算子A的椭圆性意味着对于任意点(x，匀6T’X\0，线性算子吸(x，匀:E二~凡(这里及和凡分别是E和F在x处的纤维)的可逆性.椭圆型算子的一个例子是如户此算子(Up场Ce opera-幻r). 一个算子的椭圆性等价于此算子没有实特征方向.它还可被微局部地理解，即算子A在点(x。，心。)处的椭圆性意味着(线性变换)矩阵‘(x。，古。)的可逆性. 带边流形上的伪微分算子(例如，Bou把t de MonVel代数中的算子，【10)，【11」)在边界点处的椭圆性意味着在半轴上的边值问题的某个模型算子的可逆性.这个模型算子是原来的算子经过下列一些步骤得到的:拉直边界，“冻结”算子主部的系数以及在所论点处的边界条件，并沿具有固定的非零向量七‘(它可视为边界的余切向量)的切向(从丫到岑)施行Fo~变换.在一个微分算子和某些微分边界条件的情形下，刚才描述的椭圆性条件可用代数语言来表达.在这个情形(有时也在一般情形下)下，这个条件常称为man”Po-月叨言n.K舒‘条件(Shi甲而·助pa如kilco。由tion)或强制性条件(田址断。nof以兄n口M二犯岛). 椭圆算子的一些最具特征的性质是:l)相应的方程的解的正则性;2)精确的先验估计;以及3)在紧流形上椭圆算子的Fredi刃阮性质. 为了简单起见，在下面所述中所有算子的系数和象征都假设为无限光滑的. 令Au“f是一个方程，其中A是椭圆型算子.最简单的正则性性质如下所述:当f‘C田时，“‘C巴对于具有光滑系数的任意的椭圆型微分算子和(具有光滑象征的)任意的椭圆型伪微分算子，这个性质成立.对于一个边值问题的椭圆型算子它亦成立(即，当ma皿po一几。naT“Hc班亩条件成立时，直到边界它亦成立).这个性质的更深刻的形式是它的微局部说法:如果在点(x。，古。)处A是椭圆型算子(这里凡是X的内点)，并且(x0，古。)嗜认于，(f)，其中wF表示(分布或函数的)波前集(认敬、e fiont)，那么(x。，省。)嗜WF，(u).另一深化说法:如果A是m阶的椭圆型算子，并且f“叱，那么。e吧+’，这里吧是C川阮曰e:空间(Sobo】evsPa沈)，10不依赖于。

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