补充资料：线性泛函

线性泛函
linear finctional

线性泛函【h幽口灿叫比血且;皿肚枷二中”K职0.助]，线性型(址〕。甘form)，域k上的向童空间L上的 映射f:L~k，使得对所有的x，y‘L，又‘无.有 f(x+y)二f(x)+f(夕)，f(又x)“又f(x).线性泛函这概念，作为线性算子(ljll‘lr。伴m的r)概念的重要特殊情况，是线性代数中主要概念之一且在分析中起重要作用. 在L上线性泛函的集合L#上，加法和乘以标量的运算按以下的公式定义 (f+g)(x)=f(x)+g(x)，(又f)(x)=又f(x)， f，g‘L#，x‘L，又‘k.它们在L#中确定了一个k上的向量空间结构. 线性泛函的核(耽mel ofa五n。叮丘玫‘山nal)是子空间Kerf={x〔L:f(:)二0}.如果f并ooL#(即f(x)等0任k)，则K上rf是L中一个超平面.具有同样核的线性泛函是成比例的. 如果王e，二。6A}是L的一组基，则对 ‘一冬‘V“，‘，“，‘任“，f(x)一了吝‘，J(e，，)对应f~{f(x，):，。A}是L#到k人上的一个同构.推论:L同构于L#当且仅当它是有限维的.当转移到L中的一组新基时，元素f(。，)任瓦用与基向量同样的公式变换. 由公式Q、x(f)=f(戈)定义的算子Q::L~(L#)#是一个单射.它是一个同构，当且仅当L是有限维的.这个同构，与L和L#之间的同构不同，是自然的(见函子态射(丘mc仍d目伽甲恤m)). 局部凸空间(饮目lyco~sPace)上，特别是赋范空间上的线性泛函是泛函分析中的重要研究对象.局部凸空间E上每一个连续的(作为拓扑空间上的映射)线性泛函是有界的(见有界算子(botm山沮。详ra-tor))，即对所有有界的M C=E， suP}f(x)}<的. x〔M如果E是一个赋范空间(印nlrd sPace)，则其逆也是对的;这两个性质等价于数 ]!fl卜s叩{!f(二)}:J J x Jj(1}的有限性. 局部凸空间E上的连续线性泛函形成E#的子空间E’，称为E的对偶(d斑d)空间.在E‘中，人们考虑不同的拓扑，包括弱的和强的拓扑，它们分别对应于逐点收敛和在有界集上一致收敛.如果E是赋范空间，则E’关于范数“f“是B田.山空间(Rm-ach space)，且相应的拓扑与强拓扑一致.单位球仃:}}fIl簇l}按弱拓扑是紧的. 11址犯一B翻.山定理(H滋m一Banachtheo把111)在分析中有重要应用;它的一种表示形式如下:如果”·”是向量空间E上的一个准范数(ple一nonn)，且设f0是定义在E的子空间E。上的线性泛函使得对所有的x任E。，}}f。(工){}(}{x}}，则f。能够延拓到整个五上，保持线性和给定的界.推论:定义在局部凸空间E的子空间E。上的任何连续线性泛函能延拓成E上的连续线性泛函，而且如果E是赋范空间，则保持范数.因此，对每一个x任E，x笋O，存在一个foE’，使得f(x)笋0， 设E是赋范空间且设E‘和然后的(E’)‘取相应的范数，则算子 及::万~(石’)‘，R:x(f)=f(x)是等距嵌人.如果在此嵌人下E与(E’)‘重合，则E必须是完全的，称为自反的(见自反空间(茂既xivespaCe))·例如，L，Ia，bj和l，(1成p1.对一般的局部凸空间，有类似的自反性概念. 对很多局部凸空间，所有连续线性泛函都有了描述.例如，H口比找空间H的伴随空间是{f:f(x)二(、，x。)，对一固定的x。‘H}.C[a，b]的伴随空间是{f:f(二)二了:二(t)d。(t)，对一固定的有界变差函数拜(t)}.

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