补充资料：泛函的变分

泛函的变分
variation of a fractional

泛函的变分【varia6田1 ofa云.‘七..1;B叩”a双一二勿nK-u，o，a二a」，一阶变分(first variu幻on) 一元函数微分(differelltial)概念的一种推广.它是泛函在某一方向的增量的主要线性部分;它用于极值问题理论中以得到对一极值的必要和充分条件.这是早在17印年由J.L.Lagrange(I1」)给予“泛函的变分”这术语的意义.他特别地考虑经典变分法的形如 ，(、)一丁:(:，、(:)，*(:))汉。(1) t0的泛函 如果一个给定的函数x。(t)换成x。(t)+:h(t)，且把后者代入J(x)的表达式中，假设被积函数是连续可微的，则得到以下方程: J(x。+二h)=J(x。)+:J:(x。)(h)+r(“)， (2)其中};(劝}一0当:~0时.该函数h(t)常常称为函数x。(t)的变分(variation of thel加ction)，且有时表示成占x(t).表达式J，(x。)(h)是关于变分h的一个泛函，称为泛函J(x)的一阶变分(flrstvariation of the functional)一且表示成占J(x;，，l，).当应用于泛函(l)时，该一阶变分的表示式有形式 r1 。J(:。，、)一丁(;(。)、(:)、。(:)*(:))、。， t笼刀其中 夕(r)=L、(r，x。(r)，又。(t))， 叮(r)=L二(r，x‘，(t)，又。(r)).对泛函J(x)的极值的一个必要条件是一阶变分对所有h为零.在泛函(1)的情形，这必要条件的一个推论和变分法基本引理(见血R浦s~Reym仪记引理(duBois一Re贝刀。ndlernIT以))是EJer方程(E山erequa-t幻n): d 一云L、(r，x。(r)，，。(‘))+ +L二(t，x。(t)，又。(t))=0.类似于(2)的方法也用于确定高阶变分(例如，见泛函的二阶变分(seeond variallon)). 无穷维分析中一阶变分的一般定义是由R.C冶t-eaux于1913年给出的(见G应teaux变分(C冶teaux论-月ation)).它本质上是与Lagrange的定义相同的.一个泛函的一阶变分是齐次的，但未必是线性泛函.在该表示式咨J(x。，h)关于h是线性连续的附加假设下，通常的名称是G盒teaux导数(C冶teauxd试珊tive).诸如“C应teaux变分”，“〔冶teaux导数”“〔冶teaux微分”这些术语比之“泛函的微分”这术语用得更频繁，后者专门保留用于经典变分法的泛函(【3」).

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