补充资料：变分学

　　
　　变分学
　　variational calculus u?calculus of variations

　　着重要作用.这样的转换在计算数学中也是很重要的，因为变分学的直接方法可用来解偏微分方程理论中的边值间题. 定性方法.这些方法使得有可能解决关于解的存在性和唯一性问题，也可解决关于极值曲线(极值曲线族)的定性特征问题.20世纪中建立了变分问题解的数目依赖于该泛函定义于其上的空间的性质.例如，如果泛函J定义于连结两给定点的环面上的所有可能的光滑曲线上，或定义于拓扑等价于环面的曲面上的所有可能的闭曲线上，则临界元素—在其上变分占J=0的曲线—的个数在这两情形下都是无穷的.JI.A.JI‘TePHHK和几.T.班H，PeJ-IbMaH(【71)证明在每个拓扑等价于球面的曲面上至少存在三个不同长度的闭自交测地线;如果这些测地线中只要有两个的长度相等，则存在无穷多个相等长度的闭测地线.这样一些问题指出变分学与微分方程定性理论和拓扑学之间的紧密的联系.泛函分析的发展对定性方法的研究作出了实质性贡献.亦见大范围变分学(va-行ational calculus inthe址ge). 变分学与锥理论之间的联系.变分学中研究的问题的范围仍在增加.特别地，对定义在赋范空间的元素集合G*上的很一般类型的泛函有很大兴趣.在这类问题中引进变分概念是困难的，而必须利用另一类工具.这就是R川aeh空间中的锥理论.例如，考虑使f(x)极小化的问题，其中x是闭集G中的元素.锥(cone)r。(x。)是这样一些非零向量e的集合，。可与一个正数式对应使得对所有的又钊0，又:)向量x=叉。+又e〔G.而锥rf(x。)是这样一些非零向量。的集合，己可与一个正数戏对应使得对所有的兄‘【O，又JI， f(x。+又e))f(xo).为了x。实现f(x)的极小值，锥rG(x‘，)和rf(x。)的交必是空的.这条件恰如变分为零的条件那样初等，但是并非所有由它推出的结果可用变分学的经典方法得到.它使得可能处理复杂得多的问题，如在关于不可微泛函的极值的研究中(【6」).x(r。，)二x。(r。)，x(t.)二x。(t、)和 max!%(t)一x。(r)J+maxJ又(t)一又。(t。)}<: 七‘【r f.，r门了任{‘o，￡门的所有连续可微函数x(t)，J(戈))J(x。).换句话说，这不仅确定相变量的邻近性，而且要求速度(控制)的邻近性.称函数x。(t)给出强极值，如果可以找到￡>0，使得对满足条件 x(t。)=x。(r。)，x(t】)=x。(tl)和 n飞 lx lx(r)一x。(r)}簇。 r〔【亡。，‘1』的所有可能的绝对连续函数x(t)(对此x(t)，J(x)存在)，J(x))J(x。).上面的式子仅表示相变量的邻近性. 如果x。

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