补充资料：斜对称双线性型

斜对称双线性型
skew-symmetric bflflnear fwm

斜对称双线性型[应ew一甲川netric肠lill.ar form;KOco-e”MMeTp“”ee~6“月H“e.n即咖pMal，反对称双线性型(如石一s丫旧nletric bdinear fonn) 么A模V上一个双线性型(b习illear fonn)f(其中A是含单位元的交换环)，使得 f(v，，vZ)=一f(vZ，vl)，对所有的vl，vZ‘V.特征尹2的域上有限维向量空间V上的任意斜对称双线性型f的结构，由它的Witt指数w(f)唯一确定(见Witt定理(Witt theorern);Witt分解(Witt掀。m卯51石on)).意指:V是f的核v土与一个维数为2、叹f)的子空间的正交(关于.f)直和，而f在这个子空间上的限制是一个标准型.V上两个斜对称双线性型等距同构，当且仅当它们的V石tt指数相等.尤其，一个非退化的斜对称双线性型是标准的，在这种情况下，V的维数是偶数.对于V上任意斜对称双线性型f，存在一个基e，，…，。。，f关于这个基的矩阵形式为 }}0 EO}} 11一E__00}{，(*j }}0 00}}其中m=、，(J)，E、是。阶单位矩阵.斜对称双线性型关于任意基的矩阵都是斜对称的.所以，斜对称双线性型的上述性质可以表达如下:对于特征笋2的域上任意斜对称矩阵M，存在一个非奇异的矩阵尸，使得P丁MP形如(*).特别是，M的秩为偶数，一个奇数阶斜对称矩阵的行列式等于0， 如果把双线性型f是斜对称的条件换成f是交错的:f(v，v)=0，对任意v〔V，那么上述结论对特征为2的域仍然有效(对于特征尹2的域，这两个条件是等价的). 这些结果可以推广到这种情况，其中A是一个交换的主理想环，V是有限维自由A模，.厂是V上一个交错双线性型.确切地说:在这些假设下，存在模。的一个基。l，一，。。和一个非负整数。(号，使得 0笋f(e，e，、。)=戊‘A，i=l，’.‘，川，且“，整除以，+，，对于i”1，…，m一1;在其他情况下f(e，，e，)=0.理想A“，均由这些条件唯一确定，模V土由eZn，十:，…，e。生成. 任意含单位元的交换环A上一个奇数阶的交错矩阵的行列式等于零.假如A上的交错矩阵M的阶是偶数，则元素detM任A是A中一个平方元素(见1叮臼ff式(P公戈man)).“PPhe)的左裁’丫烈产_的灰线性反蔚:么靶’

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