补充资料：类型理论

类型理论
type theory

　　Ieixing川un类型理论(tyPetheory)为避免集合论悖论而建立的数学理论，主要研究集合的分层、分类方法(包括公理化方法)。 近20年来，它在计算机科学中得到广泛应用。20世纪初B.Russe}1提出了类型论作为公理集合论乃至数学的基础，30年后A.Church用人演算和类型的概念定义了高阶逻辑的形式系统。但在经典数学中，类型理论始终未受到广泛关注，直到60年代末才有大的改观。原因有三:第一，20世纪初可构造性数学虽成为数学的一独立分支，但由于W，Brou~开创的直觉主义并没有得到很多支持，一般人的信念是数学的主要部分不可能构造地研究，改变这一信念的是E.Bishol〕的工作，构造性地重建了经典分析的核心部分，表明了构造数学是可以与经典数学相媲美的。60年代E.Bish明〕及其追随者在构造数学领域中作出的重要成果使直觉主义得到发扬光大。直觉主义逻辑的证明论启用了将类型作为基本概念的方法。基本思想是将一个可构造命题看成类型，即类型的元素为该命题的一个证明。这便是“命题当作类型”观点(柯里一霍华德观点，或称解释)。J.Y.。rard首先使用该原则给出二阶直觉主义逻辑的类型表示，并证明该逻辑是典范化的。P.N伪rti介L6f也提出了他的类型理论，为可构造性数学提供了基础。第二，T()l飞〕S理论的出现，建立了〕DR)S的内逻辑与直觉主义逻辑两者间的联系，在更广泛的范围内揭示了范畴结构的逻辑特征，对类型理论的认识更深人了。第三，也是最重要的是计算机科学的推动作用，高级程序语言不断涌现，相应的类型系统也得到研究。另一方面，在计算机上实现了用类型论求解数学问题的系统。 以“类型理论”名称出现者，颇为广泛，有分枝类型论、简单类型论(罗素)、T理论(K.G妇el)、F理论和F。理论(J.Y.悦rard)等，其中与计算机科学有关的有以下几种: (1)逻辑类型理论，它包含内逻辑。该理论目的是为构造数学提供类型论基础。通常所说的构造演算即是逻辑类型系统。本质上是高阶直觉逻辑的类型表示。逻辑类型系统的著名的子系统有:多态入演算，马丁洛夫类型理论和逻辑框架。 (2)程序类型理论，研究程序语言的类型系统。新型程序语言、程序设计方法学、语义理论的迅速发展迫切需要类型系统的研究。使用“类型”这一概念大致有两个含义:一指论域的多种组合形式，二指语法范畴的分层结构。该理论涉及的类型研究包括下述基本内容:(表达式a有类型A，记为a:A，读作a为A的一个居元。反过来也说A有居元a。) 不动点操作:设A为类型，不动点算子Y:(A~A)~A，使得对于每个f:A一A，有Yf:A且Y(f)=f(Y(f))。

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