补充资料：矩阵环

矩阵环
matrix ring

矩阵环【maoix ri.唱;Malp“”Ko几‘”o」，全矩阵环(闻matrix nng) 环R上具有固定阶数的所有方阵组成的环.R上(nxn)维矩阵的环记为R。或从(R).遍及本条，R总是一个含单位元的结合环(见结合环与结合代数(assoc浏二11n邵and al罗bras))· 环R。同构于拥有n个元素的基的自由右R模M的所有自同态的环EndM.矩阵E。=diag【l，…，11为R。内的单位元.含单位元1的结合环A同构于Rn，当且仅当在A中存在矿个元素eij(i，j二1，…，n)的集合，这些元素满足下列条件: 1)e。e*，一占，*e.，，艺e‘:e，‘一l; j=1 2)A中元素。。的集合的中心化子同构于R· R，的中心重合于Z(R)E。，其中，Z(R)为R的中心;对n>1，环R。是非交换的. 环R。的乘法群(所有可逆元组成的群)称为一般线性群(罗nera川in(汾r grouP)，记为GL(n，R).R。的一个矩阵在R。中可逆，当且仅当它的诸列组成R上所有(nxl)维矩阵的自由右模的基.如果R。是可交换的，则R。中矩阵a的可逆性等价于它的行列式deta在R中的可逆性.等式(R。)。二R。。成立. 环R。是单的，当且仅当R是单的，因为R。中双边理想均具有形式k。，这里，k是R中任一双边理想一个A“血l环(Artinian rulg)是单的，当且仅当它同构于某除环上的矩阵环(W记derburn沪迁 till定理(W曰derb切rn一Anjll th(幻化m)).如果了(R)表示环R的J自co加阅根(Jaco忱on mdical)，则J(M。(R))=M。(J(R)).因此，半单环R上的每一个矩阵环总是半单的.如果R是正则的(亦即如果对每一个a‘R，有b。R使得aba=a)，则R。亦然.如果R是含有不变基数的环，这就是说，在每个自由R模的任一基内元素个数不依赖于基的选择，则R。也有这个性质、环R与R。按森田意义是等价的(见森田割介(Morita eq山词ence)):R模的范畴等价于R。模的范畴.然而，投射R模是自由的事实不必导出投射R。模也是自由的.例如，如果R是域且。>l，则存在若干有限生成的投射R。模，它们不是自由的.

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