补充资料：不变测度

不变测度
invariant measure

　　不变测度【加招‘切t~;朋‘，”aH.奴袱pa] (l)可测空间(浏芝巧切旧b七sPace)(x，刃)上的关于此空间的可测变换T的不变测度是指马上的一个测度召，对所有A‘刃，满足拼(A)=拜(T一’A).通常假定该测度是有限的(即拼(X)<田)或至少是。有限的(即x可表示为可数并UX。，这里拼(X，)<田).最重要的情形是T为双射且映射T一’也是可测的(因而称T为可逆的，并记住这是指在可测变换类中的可逆性)，此时测度升的不变性等价于性质:对所有A‘黔有拜(A)=拜(TA).最后，关于一族(可测)变换(例如半群、群、流等)的不变测度是指在此族中的所有变换下不变的测度.不变测度概念在动力系统理论与遍历理论中起重要的作用.在后一情形下，人们考虑在以群为不变测度的测度空间(X，刃，群)中动力系统的种种性质.如果一个动力系统有几个不变测度，例如产与V，那么它作为(X，黔，拼)中动力系统的性质(关于不变测度拜的性质)可能与作为(X，男，，)中动力系统的性质(关于不变测度v的性质)不同.在一个固定的动力系统中考虑不同的不变测度时，往往将此系统关于不变测度拼的性质看作测度拜的性质(例如，“拜是遍历的”意为在空间(X，黔，召)中的一个给定系统的遍历性，即不存在群(A)>O与邵(X\A)>O的不变集A‘刃). 在历史上，最初的一些不变测度的例子是与在光滑流形上生成某些特殊类型的流的变换的微分性质有关的(见11山川I奴l系统(H血n五lton纽ns声忆m);积分不变且(i啤加lin研州ant)).利用(局部)坐标x，，一，x。，可将这些测度拜表示为形式d群=pdx;…dx。，并且密度p有显式表示p二p(x，，…，x。).在来自代数学的一些例子中(移位群等〕，不变测度通常指11如r测度(Haar 11℃asuxe)或由它经某种自然构造得到的测度. 在拓扑动力学中，H.H.EorQ旧忱加与H.M.Kp咖阳证明了(【11，亦见[21，[31)，度量紧统X上关于连续流与级联的有限遍历不变测度的存在性(其他种种推广也是可能的，见[41，[51，[6]).非遍历有限不变测度在某种意义下是遍历有限测度的线性组合;有限不变测度的支集以某种方式与X中的轨道特性有关(所有这些不变测度都集中于所谓极小引力中心131).试图找到一般情形下不变测度性质的更详细的叙述并无多大价值;它们可以有很大差异.在某个情形下遍历不变测度集中在一个点上，而在另一情形下，它可能在X中所有开子集上为正，并且具有“拟随机”性质(混合，正嫡等)，它的描述与研究同遍历理论有关(而这在前一情形中是毫无意义的).因此，有许多关于后一情形各种动力系统具有种种有趣性质的不变测度的存在性的研究. 最后提一下关于不变测度存在性的纯度量方面的问题.假设动力系统具有拟不变测度(q“滔i一近甩血以m巴坦uIe)拼;那么它是否还有一个与群等价的不变侧度??(此问题的论述能在〔7]中找到.另外的讨论也可在ts]中找到).一般说，答案是否定的，即使只要求v是『有限的以及(X，男，拜)是玫比目肥空间(【9」).关于有限不变测度的存在性的充要条件的各种不同形式是已知的;其中最成功的要算Haj如与5.Kakut如i给出的条件(110]，[8]). 八.B.AHocoB撰 (2)概率论中的不变测度是对转移概率来定义的(见转移概率恤2仍ition pmbabilj场留)).设(X，了)为可测空间，这里.了为。

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