补充资料：变分学的数值方法

变分学的数值方法
ariational calculus, numerical methods of

微分方程的数值方法(Cauchy problenl，~ricalme-tll仪15 for orelinary differelltia}叫uations)). 如果边值条件和泛函以比(3)，(4)和(l)中更一般的形式给定(例如在】‘月za问题(Bo龙a Pro·blem)中具有可移动端点，在具有自由(可移动)端点的变分问题(varia加nal problelll)中)，加人横截性条件(trdnsversality condition)以补充最优性条件(6)和(7).在消去出现于这些条件中的任意常数后，得到一个封闭的边值问题和对应的(9)型的方程组. 方程组(9)的解也可由用于解非线性组的其他方法得到. 解特殊类型的边值问题的特殊方法已经有了发展.例如，线性边值间题用边界条件转移法(打靶法(sbooting服th(〕d))求解.这方法也用来作为非线性边值问题迭代解法的一个组成部分(11」). 变分学问题很经常地借助于电子计算机求解，因为按这方式间接方法可有效地且比较简单地实现.然而，这种技巧并非可应用于所有的情形;对变分学中某些重要的间题类，例如包含相限制的问题，写出必要条件是困难的，这就导致有复杂结构的边值问题.此外，这些边值条件不一定保证所找到的解确实给出该泛函的一个极值.这必须用引进最优化的充分条件来检验.所有这些限制了间接方法的应用范围. 直接方法.第一个直接方法是E口er为解变分学中最简问题而提出的.它被称为 Euler折线法(或Euler有限差分法).在这方法中泛函 叭 J(x)一了;(‘，x，‘)d。(，o) t0是在满足给定边界条件 x(t。)=义。，x(t，)二x，(川的连续折线x(t)上考虑的、且这些折线由端点在给定横坐标的N个直线段组成.这样，该泛函数变成该折线顶点的纵坐标的一个函数，而原来的问题化成一个多元函数求极小的问题(见更址ler法(Eulerme-thod)). 由于包含在这样的计算中的工作量是相当大的，直接法在变分学的传统的研究中长期被忽视.在20世纪初它们再次被采用.化成求多元函数极值问题的新方法被提出来了.其中最重要的是Ritz法(RitzTnethod)，按照这方法在条件(n)制约下使(10)极小化的解是在具有形式 N x一价。

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