补充资料：线性方程

线性方程
linear equation

　　线性方程「如曰r闰旧‘叨;~e益HOeyP臼He朋el 形如 Ax=b(l)的方程，其中A是从向t空间(从戈幻rsPace)X作用到向量空间B的线性算子(】jnear。讲份仍r)，x是X的未知元素，b是B的已知元素(自由项).若b=O，线性方程就称为齐次的(ho心g汕为璐).线性方程的解(50】ulionof此】jn。汀闪华币On)是一个元素x。，使得(l)为恒等式: Axo三b. 最简单的例子是线性算子A:x~ax(线性函数(h刀。江五川ction))和由它确定的线性代数方程(如已江司罗b面eeq娜tjon) ax=b，(2)a，b‘R或C(或任意域k);它的解存在，当且仅当或a笋o(则x。=b/a)或a=b=0(这时x。是任意的).方程(2)的一个推广是形如 Ax二f(x)=b(3)的线性方程，其中f(x)是定义在域k(b〔k)上的向量空间X上的线性泛函(血份rfunc由nal).特别地，若X的维数是有限的且等于n(因此X同构于k”)，则f是。个变量x，，…，x，的线性型，且(3)可写为 a .x:+…+a，x。=b，a‘，b6k.(4)若a，不全同时为零，则(4)的解集构成X中的(n一1)维线性簇(在齐次的情况下，为线性子空间).若X是无限维的，则(3)的解集是余维数1的线性簇. 形如(4)的小个方程组成了线性方程组(systOllof haLear闪uations) a，:x，+’·+az。x。=b，，j=l，”‘，m·(5)方程组(5)可以解释为形如(l)的线性方程，如果对于X，取空间妙，对于B，取空间k.，并由矩阵(仃坦让认)1}ai)}(i二l，…，n，j=1，…，。)确定算子A.关于线性方程组(5)的相容性问题，即线性方程组的解的存在问题，通过比较矩阵}}aoll和{气，b}的秩来解决:有解存在，当且仅当两秩相等. 当X和B是无限维向量空间时，情况比较复杂.空间X和B的拓扑以及由此而产生的算子A的各种性质，诸如有界、连续等等，起着重要作用.在一般情况下，线性方程的解的存在性和唯一性由A的可逆性确定(见逆映射(mv吧招elr坦pP吨)).然而，有效地求A的逆往往很不容易，所以在线性方程的研究中，定性方法起着重要作用，用这种方法有可能不解线性方程而阐明解族(假定它们存在)的在某些方面是有用的性质，例如唯一性、先验估计，等等.另一方面，算子A不一定定义在整个空间X上，而方程(l)对某些b不一定有解.在这时，(l)的可解性(在许多实际上重要的情形)通过合适选择A的扩张来确定(见算子的扩张(e川周书ion of an ope几-tor)). 对于一些特殊类型的线性方程，例如对于线性常微分方程、线性偏微分方程，以及线性积分方程，已发展了一些求解和研究的特殊方法，包括数值方法.最后，在许多情况下(例如在线性回归问题中)，在某种意义上最适合作为线性方程的解的那些x。的值，看来是有用的.M.M.BO如ex.c盆H盛撰
　　

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