一个集g，如果它不是空集，而且满足以下四个条件，就叫做群：

①g中有一个闭合的结合法。这就是说，g中任意两元a，b的结合c仍然是g中元。结合法通常写成乘法，这时c又叫做a,b的积。一般用记号ab=c或a·b=c表示。要注意，积ab虽然是由a,b唯一决定的，但一般它还与a,b的顺序有关。即ab不一定等于ba。

②g的结合法满足结合律。也就是说，对于g中任意三元a，b，c，有（ab）c=a（bc）。

③g中有一个（左）单位元e，对g中任意元a，有ea=a。事实上由于可以证明群的左单位元也是右单位元，因而一般把e就叫做单位元。

④对于g中任意元a，在g中有一个满足a^（-1）a=e的（左逆元）a^（-1），此处e就是上面的（左）单位元。实际上，可以证明，在群中，a的左逆元也是右逆元。因此，一般把a^（-1）就叫a的逆元。

附注：

①现代意义上的抽象群概念由法国天才数学家伽罗华（eacute;variste galois，1811-1832）最先建立起来。②群的定义有多种等价的表达形式，以这一种最为基本。

③一个非空集，若只满足上面的条件①，则称为乘集；若满足条件①②，则称为半群，这也是一个重要概念。

④若群的结合法还满足交换律：ab=ba，则称为交换群或阿贝耳（n.h.abel，1802-1829）群。

⑤由一个元组成的群叫单位元群，元数是有穷的群叫有穷群，否则叫无穷群。群的元数记作|g|。