补充资料：晶体的对称性

    　　晶体中原子规则排列的几何特征的理论基础。一个几何图形往往具有对称性，即经过适当的坐标变换（旋转、反映、平移或它们之间的组合）后，图形可以完全复原。这类使图形保持不变的坐标变换被称为对称操作。在对称操作中始终不变的轴线、平面或点被称为对称元素。例如一个球，环绕通过球心的任意轴线转过任意角度，均保持不变。其对称轴就是通过球心的任意直线。又如一个正方柱体，环绕其柱体的中轴旋转 90゜（2π/4弧度），也可保持不变。因而它的对称轴之一就是与中轴吻合的四重旋转轴。显然，有限图形的对称操作局限于旋转、反映以及它们之间的组合；无穷大的周期性图案方始有平移对称性。
　　
　　晶体的对称操作 　在晶体中原子位形具有三维周期性结构。由于晶体的线度要比晶胞大得多（通常超过10⁵倍），所以在讨论晶体对称性问题时，不妨将晶体视为延伸到无穷大的物体。
　　
　　晶体对称性的基础在于它的平移不变性，也就是用点阵来表征的空间周期性。当然，除了平移以外，晶体还可能具有旋转和反映的对称性。这些也正是有限图形可能有的对称操作，但若要在晶体中出现，就应受到周期性条件的制约。这样，晶体中只可能有二重、三重、四重或六重对称轴，至于五重、七重或其他更高次的旋转轴,却由于和周期结构不相容,而被排除在外。二重旋转轴再加上法线和轴向重合的反映面就等同于反演，即坐标(x,y,z)转变为(-x，-y，-z)，此时原点为一对称中心。旋转轴和反演的复合构成了一系列的旋转反演轴。其中二重旋转反演轴等同于法线沿轴向的反映面。在国际符号中,旋转角为2π/n的旋转轴就用符号n来表示。m表示反映面;嬞则代表旋转反演轴。如同一方向具有旋转轴和反映面(指其法线方向),则表示为n/m。例如宮=3/m，即六重旋转反演轴等同于三重轴加上法线沿轴的反映面。此外，旋转轴和反映面还可以沿轴(或面)的非点阵平移组合起来产生新的对称操作：螺旋轴与滑移反映面。当然附加的平移也要受到点阵的制约。螺旋轴通常表示为n_m(如表1中的6₃),此脚标表示附加平移等于轴向的点阵平移的m/n倍。滑移反映面则随附加平移矢量的差异,选用不同的小写字母来表示（见表1）。
　　
　　对称群及其类型 　一个物体的对称性可用其对称操作的集合（即对称群）来描述。因而晶体可以按其对称群来分类。
　　
　　晶体结构的周期性可以用点阵来表征。如果忽略掉晶胞的具体内容，单纯只考虑点阵本身对称操作的集合，这就是平移群。A.布喇菲于1850年首先推证出只可能存在14种布喇菲点阵。按照布喇菲点阵晶胞（有些是初基的，有些是非初基的）形状，可以分为七个晶系：即三斜、单斜、正交、四方、菱形(或三角)、六角与立方系。由于菱形点阵事实上就是一种非初基的六角点阵，因此更加合理的方案是将菱形点阵归并入六角晶系，而不视为一独立的晶系。
　　
　　至于晶体的宏观对称操作的集合，被称为点群。J.F.C.赫塞耳于1830年首先导出了32种不同类型的点群，对应于32种晶类。这构成了探讨晶体物理性能对称性的基础，也反映了晶体外形（晶面法线族）的对称性。
　　
　　通用的点群符号有两种:一是传统的熊夫利符号;另一种是赫曼-莫吉恩(Hermann-Mauguin)符号。后者扼要地概括了点群中对称元素的配置情况,包含信息较多,已为国际晶体学界所采用，故通称为国际符号。下面我们对于点群的国际符号作一简介。对于低对称性的晶系，符号的意义很清楚，它列出了点群中的对称元素：三斜系有两个点群，无对称中心的1和有对称中心的ī；单斜系有唯一对称轴（с或b轴），有三种点群，单一的二重轴2，单一的反映面m,或两者兼而有之在正交系，三个位置分别代表沿a、b、с轴的对称元素，如222、mm2及 ，后者可缩写为mmm，因为未写出对称元素可以根据对称元素的组合规律来补足。至于只具有一个高次轴的点群，就应属于四方或六角系。符号的第一位置表示с轴；第二位置表示a轴（由于存在高次轴n,总共有n个轴向）；第三位置表示垂直于с轴的另一组对称元素取向(四方系中与a轴成45°，六角系中与a轴成30°)。这样，点群4mm，3 2或宮2m都不难设想出来。可以根据点群的对称性将六角系分划为两个次系：即具有三重轴的三角（或菱形）次系和具有六重轴的六角次系。但是需要注意，和前者相容的点阵既可是菱形，也可以是初基六角；但和后一次系相容的点阵却只有一种，就是初基六角。这样，将六角系划分为两个次系，按点群对称性来区分和按点阵类型来区分，得到不一致的结果。这也说明传统上将菱形（或三角）系看作独立的晶体，会遇到一些麻烦。至于立方系（其特征为至少具有四个三重轴，即第二位置上有3或婣出现），三个位置的含义又不同了：第一位置代表三个立方轴向，第二位置代表四个体对角线方向，而第三个位置代表六个面对角线方向。掌握这一惯例，人们也不难理解某些高对称性的点群，如2 3、4 3 2、嬄3 2等。总之，首先我们要对于点群所属晶系作一判断：二位上是否有3,一位上是否有高次轴等。晶系确定以后，各位置所代表的轴向就清楚了。表2、将32种点群，以及所属晶系，与之相容的布喇菲点阵的类型均一一列出，表中也写出熊夫利符号，以便对照。
　　
　　晶体结构的对称操作的集合称为空间群。E.C.费奥多罗夫于1890年，A.M.熊夫利于1891年分别用不同方法相互独立地证明了晶体结构中对称操作的组合方式只有230种，即230个空间群。人们可以从每一点群出发，分别和其相容的点阵组合起来，从而导出73个空间群；然后再将这些空间群中的旋转轴和反映面分别用螺旋轴和滑移反映面来取代,又可导出其余的157个空间?骸？占淙旱墓史虐讲糠郑呵爸玫拇笮蠢∽帜福砻髌涞阏罄嘈停?2）;后面三个位置上列出其对称元素，其惯例和点群符号相似，不过这里出现的是包括螺旋轴和滑移反映等微观对称元素。例如 F嬄3m，由于中间的3，可以断定属立方系，点阵类型为面心立方，沿三个立方轴有嬄,沿四个体对角线有3，沿六个面对角线有m。由于存在平移对称性，各对称轴和面将重复无穷多次，彼此相互平行。因而空间群中对称元素的配置，不仅要考虑其取向关系，还需要定出它在晶胞中的确切位置。另外，从处于晶胞中一般位置上或特殊位置上的某一点出发，通过空间群的一系列的对称操作，可以求得一系列的等效位置。这方面的知识对于进行晶体结构分析或有效地利用结构分析的结果都是至关紧要的。各个空间群的详细情况可以从国际晶体学表中查到。
　　
　　其他类型的对称性 　上面关于对称性的讨论局限于晶体的原子位形，即空间对称性。如果晶体中不仅有静态的电子密度分布ρ(x,y,z),还有电流密度i(x，y，z)的分布。那么除了空间对称性以外，还需要考虑时间反演的对称性。设想对时间进行反演，即t→-t,则所有的电流都会改变取向，亦即导致原子磁矩的反转。因而对于原子磁矩作有序排列的晶体（即铁磁性或反铁磁性的材料），要全面描述其对称性，就有必要引入时间反演的对称操作,用符号奐来表示。如果电流的分布容许这种对称操作，那么就意味着j＝-j,即j=0,即电流或磁矩根本不存在。但是变换也可以和旋转、反映及平移等对称操作组合起来构成各种时空对称操作。例如设想一组处于正六边形顶角上的原子，假如原子都没有磁矩，则具有六重旋转轴；若原子磁矩方向交替地反向，相邻的原子变得不等同了，导致六重轴的丧失。但如果在时间反演后再旋转60°，可以完全复原。这样会有时间反演和六重轴的复合的对称操作。因此，可以存在不等于零的电流分布j(x，y，z)，但对于时空对称操作仍可保持其不变性。这样，除了230个容许奐操作的空间群（磁矩恒等于零）外,还有230个不容许奐操作的空间群(原子磁矩均为同向)和具有时空对称操作的空间群(原子磁矩容许正反两种方向)1191个,因而磁空间群的总数为1651。类似地有122个磁点群，其中无磁矩的点群32个,单一磁矩方向点群32个，还有58个具正反磁矩取向的磁点群。早在1930年H.黑施越出了三维空间群的范畴，探讨了三维空间的四维群。Α.Β.舒布尼科夫于1946年引入了和磁对称群同构的色对称群(黑、白两种颜色对应于正反磁矩)。至于磁对称群的全面导出，则是1955年H.Β.别洛夫等及1956年B.陶格尔等的工作。
　　
　　

参考书目
　　　M.J.Buerger，Introduction to Crystal Symmetry,McGraw-Hill,New York,1971.
　　　H.Megaw,Crystal Structures,a Working Approach, Saunders, Philadelphia,1973.
　　　G.Burns and A.M.Glazer，Space Groups for Solid State Scientists,Academic Press, New York, 1978.
　　　N.F.M.Henry and K.Lonsdale，ed.，Internationaltables for X-Ray Crystallography，Vol.1，Kynoch Press,Birmingham,1952.
　　

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