补充资料：对数残数

对数残数
logarithmic residue

对数残数[，呢a对由丽c“‘山坦;JloraP“枷，，c。益‘-叨T]，亦称对数留数 亚纯函数w二f(:)在扩充2复平面的点“处的对数残数是对数导数厂(:)/f(:)在点a处的残数 f，(z) 】ts_一. J tZ)在点a笋二的邻域V(a)中把函数hif(:)表示为hif(z)二注hi(z一a)+职(z)，其中价(z)是V(a)中的正则函数，则得 ~2二业上=d 一“f(z)在a=的的情形下，相应的式子为 、，(·)一，h(誉)+，(·)，~J丛立一， 一‘f(:)如果a是f(:)的重数为m的零点或极点，则f(:)在“处的对数残数分别等于m或一m;在所有其他点处其对数残数为零. 如果f(:)是区域D内的亚纯函数，r是位于D内的可求长Jo代Ian曲线，它不通过f(:)的零点或极点，则f(:)关于围道r的对数残数是积分 1 ff‘(z)J__、了n 二二一.牛户二井dz=N一尸.门1 2二i尹f(z)其中N，P分别是f(:)在r内的零点数和极点数(按重数计数).式(l)的几何意义是:当z沿r按正方向旋转一周时，向量*=f(:)围绕、平面的原点w二0旋转N一尸圈(见辐角原理(ar邵Jn咒nt，pnnciPle ofthe)).特别是，如果f(:)在D内正则即尸=O，则由(l)得到用对数残数计算点w“0关于r的象r’=f(r)的指标的公式: indor‘一命)借“z.(2) 公式(2)导致对数残数概念对于复空间C”(n)l)的区域D中多复变量正则函数情形的推广.设w=f(:)=(f，，…，f。):D~C”是全纯映射(holomor-phic TnaPP吨)，其J自切“行列式(玩obiall)寿(:)羊O，且其零点集E二f一’(0)在D内是孤立的，则对任一由不通过.f的零点的简单闭曲面r所围的区域GCJCD，有点w=0关于象r‘=f(r)的指标的公式: .，_.1 rdf，八…八df_ ind。r’“一恤二匕匕=一二二巴生=N. (27r‘)”碑.f.‘’了· (3)其中积分展布在n维骨架r。二{:〔G:If，(:)}=。，v二1，…，n}上，￡为充分小的正数.(3)中的积分也表示f在G中的零点重数之和(见【2]).【补注】原点关于复平面中一条曲线的指标(汤由x)(也称为所给曲线的卷绕数(俪改血9 nUmber))，是此曲线卷绕原点的周数.更精确地说，它是(1/2二)h、的辐角当w沿所给曲线行进一次时的改变量(见【A 11，IA31).在高维情形下，一个点关于一闭曲面的指标可定义为具有下述性质的数N:所给曲面同调于以所给点为中心的一个球的边界的N倍(见【A2}，IA4」).

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