补充资料：二次型的约化

二次型的约化
quadratic forms, reduction of

描述自同构). 二次型的自同构的一般形式是Ch .Her而te(当n“3时)及A.Ca叨ey(对任意n)描述的(见[10]). 在以有限多个代数曲面为边界的流形中(q)中整不定二次型q(x)的自同构群的基本域已被构造并且算出了它的体积(〔13〕).对于t二l的情形，在昨维空间中二次型q(x)的自同构群的基本域被构造为以有限多个平面为表面的无穷棱锥(见〔2]，【41). 还有代数数域中二次型的约化理论(见【111).二次型的约化【quad招ticf(对ms，red此柱叨Of;姗叨pa-T“，“ux必oPM oP“.叭ell“e] 在给定环R上的二次型的每个类中分离出“约化”型，亦即每个类中的(一个或几个)“标准”型.二次型约化的主要目的是为了解决二次型的等价性问题:确定两个给定的二次型q和厂是否在R上等价，并且在它们等价时求出(或描述)所有R上的将住变换为r的可逆矩阵U(见二次型(qpadnltic form)).为解决后一问题，只需知道一个那样的矩阵U‘，以及型q的全部自同构V，因为由此可有U=VU。，.通常侧重Z上二次型的等价性，并且常常考察R上的二次型的总体以及它们在Z上的类.正定和不定二次型的约化理论存在基本性差别. 正定二次型的约化.存在实正定二次型在Z上约化的不同方法.其中使用最广.泛而且被充分研究的是Mlnkowski(或Her而te一Minkowski)约化方法.最一般性的方法是BeHx帕方法.其他流行的约化方法是E.Selljng(n“3)和H.F.Charve(n=4)的方法， 确定一个约化二次型 、(x)一B[x]一艺b，xx，， 1.)二t b。任R，(b。)=B，意味着在系数空间 RN(N二”(”十1)了2)中的正性锥甲中定义一个约化域必，使得当且仅当q二(b.:，一，b，一l，。)〔0时q(x)是约化的.若。具有好的几何性质(例如单连通性，凸性，等等)，并且是行列式为士1的整数变换群r的基本域，即可合乎要求.一个区域FC平称为正定二次型的基本约化域(几改坛订记力扭}d。江.inofreduction)，如果F是R刀中的开域，并且还满足:1)对每个q〔平存在一个等价二次型h“叭z)，hC瓦2)若h:，hZ任F，且h.泛hZ(Z)，则hl二h 2. a)二次型的Minkowski约化(Minkowski reduc-tion of aq“ldi劲tic fonn).一个正定二次型q(x)是Millkowski约化的，如果对于任何k二1，…，n及任何一组最大公约数(1:，…、z。)二1的整数l:，·‘.，l。， 任(l!，‘一，l。))b、*·(l)从无穷多个关于系数b。

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