补充资料：Lagrange函数

Lagrange函数
Lagrange function

场脚明笋函数11)脚l笔e加目出佣扮)hp明。中担刘“，] 一种在求解多变量函数和泛函的条件极值问题时所利用的函数.通过肠郎阳罗函数，可以写出条件极值问题的最优性必要条件.这时不需要用一些变量来表示另一些变量或者考虑并非所有变量都是独立的这一事实通过加即阴罗函数所得到的必要条件形成一个封闭的关系式组，所要求的条件极值间题的最优解就包含在它的解中.加脚nge函数既用于线性和非线性规划的理论问题中，也用于某些计算方法的构造中. 例如，假设有下列多变量函数的条件极值问题:求函数 f(xl，…，x。)(l)的最大值或最小值，条件为 g:(x!，…，戈。)=b;，i=l，·…(2) 川;mr(G)，那么为了满足乘子法则，必须设石=0.尤其是，如果r(G力=r(G)=m(在实际间题中最经常发生的情形)，那么石可唯一确定，但是如果;(G力>r(G)或r(G户=;(G)0的指标j的集合，J0是满足xjf一o的指标J的集合，以及I是i一l，…，mZ中使得限制(7)在x’上作为严格不等式来满足的指标集合.那么存在这样的向量又‘=(又:，…，又二)， 对于‘一‘，二，m，，*))。，1 对于茁=阴.十1，…，m，，石(O，l_、 -·，。一厂二__一户(10) 对于i=m，+1，…，m，厂的符号不定，I 对于作I，石一0，J使得 。F(x‘，又’)=。f(x’)_ 日xz口xz 召二己g‘(x’)f=o，对于joJ， 一夕J又一《__.__咬11) ，昌‘’‘旅，走(0，对于j〔J。， 刁r(x‘，又’)_ 己又， 厂)0.对于i=1，·…。、 =b‘一夕:(x’)月蕊0，对于i=。，+l，…，mZ， 仁=o，对于i二。2+z，…，，. (12) 所提出的必要条件推广了条件(4)，(5).利用函数F(x，劝的鞍点(saddk point)的概念可以解释这些条件.在鞍点(x‘，又’)上，函数F(x，劝满足不等式 F(x，兄’)蕊F(x‘，又’)蕊F(x‘，劝.使条件(10)一(12)成立的点(x’，又’)满足对于恤脚列酮函数F(x，劝在x妻0和使(10)成立的又的集合上的鞍点的必要条件.在f(x)对于x)0为凹函数以及g，(x)对于之:>0为凸，而对于厂<0为凹(i=1，…，m)的情况下，必要条件也变为充分条件，即由必要条件所求得的点(x‘，又’)是肠g-m刊笋函数F(x，几)对于x)0和满足(10)的又的鞍点，并且f(x’)是f(义)在限制(7)，(8)下的绝对最大值. 除了以形式(9)来表达的L姆租〕ge函数以外，还有以其他形式来表达的u脚叫笋函数、它与前者的不同之处在于加g翅1罗乘子的符号.必要条件的表达形式也有所改变.假设给定下列非线性规划问题:求 f(x)(13)的最大值，条件为 g，(x))0，i=l，二，m，(14) x)0.(15)对于i=1，，二，水:的限制(7)可通过简单的变换而归结为(14).等式型条件夕，(x)=b，(i>m之)可代替为不等式夕.(x)一b‘)o和b，一g‘(x))o，从而也可以归结为形式(14). 假设加g旧n罗函数记为形式 尸(，，“)一f(x)+万1“‘。

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