ζ函数
zeta-function  (- function:

【译注】B流h和swirme川Dn一D界r猜想的最早的突破 见【Bll，即证明了定义在Q上的有复乘的椭圆曲线 的L函数在点s=1处的零点的阶为零蕴含着该曲线 上的有理点群的秩为零. 对于某些椭圆曲线已证明了其Tate一ula和peB二 群的阶(除个别素因子之外)与B加h一Sw云田enDn一D界r 猜想所预料的相吻合，在其中的某些特殊情形下该猜 想已被完全证实. 2)代数几何中的乙函数(zeta filnction inal罗- braic gcometry)是描述有限域上的代数簇以及Specz 上的有限型概型上算术的复变量、的解析函数.如 果x是一个这样的概型，牙是它的闭点的集合，N(x) 是点x任了的剩余域k(x)的元素个数，则心函数 C、(s)由E口er乘积给出: Cz(s)二fl(l一N(x)一’)一’. 浑已X 当Res>din1X时它绝对收敛，并可半纯地开拓到 半平面Re、>d五nX一1/2上，以点5=djn1X为极 点(【10」).如果X二51袱二Z，则心x(s)就是Rien飞Inn C函数(Ri。匡以nllZeta丘川ction)，如果X在SpecZ 上是肴限的，则‘、(、)是相应的数域的Ik月ekind‘ 函数. 被研究得最透彻的是当X是有限域F。上的代 数簇的情形.此时 N(x)=任吨x， 其中degx是域以x)在F;上的次数.通常人们考 察由 Zx(q’)”(x(s) 所定义的函数Z尤(t)用以代替心:(s).如果v。是簇 X在域F;·中的有理点的个数，则已证明([14]) 坑z、(:卜。公，V书· 这种C函数是E.Artin在1924年对于代数曲线的情 形(类似于代数数域)引人的(【11)，他指出这些函 数是t的有理函数，并且在某些情形下与Rlelnalln关 于零点的猜想相类似的结论对于这些函数是成立的. 这个类似的结论被称为Artill假设(户Jtjnh男刀t」璐地). H.Hasse在1933年对于亏格1的曲线证明了此假设 (亏格O的情形是平凡的)，进而A.Weil(1940)借 助于Ab日簇(Abelian珑uiety)理论的结果对于任意亏 格的曲线证明了此假设，该理论主要是由他为此目的 而创立的(见[21，[14]). W亡皿(【21)考虑了任意代数簇的C函数并且提出 了一个假设，该假设推广了当时已知的关于曲线的结 果.他的研究基于以下的考虑:簇X在F;·中的有 理点集也就是该簇的RJ犯面出自同态(Frobeniusen- domo甲地m)的“次幂的不动点集.V况d第一猜想 (w己11俪t conjectule)提出，有限域上的代数簇的范 畴中存在一个上同调理论，该理论满足为得到1上触如九 公式(LefsclletZ fon刀Ula)所需要的全部的形式性质. 如果{H‘(X)}是这样的理论的上同调群，则由 Lefsclletz公式可知 _、P、ft丫二尸、.〔t、 Z一(t卜一_ p。(t)…pZ。(t) 其中。