补充资料：大范围变分学

大范围变分学
variational calculus in the large

大范围变分学[variatjo“日ealeulusin血large;aap“a-u“o“”oe“e，“e几e”“eB”e邢Ml 数学的一个分支，包括用拓扑学的概念和方法对变分问题作定性的研究:极值曲线的存在性和数目的估计，它们的一些定性性质的研究和许多不同类型的极值曲线之间的关系(见变分问题(variational Pro-blem)).这领域有时也认为包括流形上函数的平稳(临界)点的“总体”理论，对这些点类似问题也被研究.(在所有情况下，后面的理论是与大范围变分学紧密联系的且有相同的来源，而且其中的一些问题常常作为真正变分间题的简化模型.有时后者也借助于用前者的逼近来作研究).给定问题中存在的所有极值曲线(平稳点)都是有意义的，不管它们是否有对应的该泛函的(或函数的)真正极值(即极大值或极小值)或者它们只是平稳的.这是大范围变分法和变分学(稚riational caku】us)的较早分支之间的差别之一，在较早分支中，在对所有极值曲线都同样的平稳性条件的比较简单的推演以后，研究集中在极值(通常是局部的)上—通常是极小值.此外，“经典”课题的大部分包括对极值曲线的小邻域的研究，而大范围变分学中要利用变分问题的整个函数空间，即所考虑的泛函在其上定义的曲线(函数，曲面，等等)的整个空间(或所考虑函数在其上定义的任一流形)的拓扑性质.这些性质也与这些曲线(曲面)所在的或这些函数定义在其上并(或)取值的空问(区域，流形，等等)的拓扑有联系(且也与边界条件或任何补充条件的性质有联系).大范围变分学的这种“整体”特征被“大范围”这名称所强调.(在大范围变分学发展过程中显示了必须研究纯粹是局部的二阶变分(second varia-tion)的性质(Lll).这些性质以前仅在涉及到泛函的极小条件时才被研究.) 大范围变分法是1920一1930年间在试图解决关于估计闭Rielnalm(或更一般地，Finsler)流形上闭测地线(closed罗仪比sic)的数目问题中具体化的.这问题也被称为大范围变分法的周期问题(periodic pro-b】enl)(11]，[2]，[4]). 大范围变分学中一般的研究方法可描述如下.对给定的函数，包括泛函、看成对应的无穷维泛函空间上的函数，研究函数的变化水平(level)C的较小值区域(don飞l川of 52朋l】er vahies) f一’(一二，C]={x:j(x)成c}的各种拓扑性质的变化.试图证明只有当C通过平稳值(对应于该函数的平稳点)时这些性质才变化且去描述伴随这种转移而起的变化与相应的平稳点性质之间的联系.f的平稳点为一方，具有充分大C的较小值区域f一’(一二，c」或甚至f在其上定义的整个空间的拓扑性质为另一方的两者之间的某些联系被得到了.如果知道了后者的性质，则所建立的联系可以

[1] [2] [3]  下一页

说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。