补充资料：圆法

圆法
circle method

圆法[d旧e me山od;即”佣浦Mer叭] 加性数论中最普遍的方法之一设戈，…，戈是任意一些自然数的集合，N是自然数，又设人(N)是方程 n一+…+n、=N的解的个数，其中nl任Xl，…，n*任戈.加性数论所研究的正是数人(N);例如，如果能够证明对所有的N，人(幼大于零，这就意味着:任何自然数都是分别取自集合戈，…，戈的k个数之和.现在，设s是复数，}51<1，并且 。l(s)=叉s”’，…，。、(s)=艺s”‘. n .oX”*仁X*那么，山 。(s)二，‘(s)二g、(s)二艺J、(N)s、 丫二{所定义的函数州、，是大(N)的生成函数.由Ca碳hy公式， 、N、共f。(、):小，，山 2仃l{J、l、-与R，l一O时.研究这个等式中的积分把积分圆}、}二尺分成以有理数为中心的“优”弧和“劣”弧存在很!L一泛的一类加性问题，对其“优’‘弧上的积分可以进行相当充分的研究，产生人训)的“主要”部分，而对“劣”弧!_的积分司以给出估计，得到人卿)的渐近公式中的“余”项 讨.M.B“Holpa几。B在圆法中引人一角和·不仅极人地简化J‘这一斤法的应用，而民讨广泛的十分不同的加性问题的解决给出了统一的途往.圆法的基础以三角和的形式表小就是公式 犷一{{写，川、整数.山此公式可知 J、(N)一少s}(a，，二丁、(、:)eZ”’‘’八da· (、其中 场(a)艺。汁‘、。」，，..，丸 月七毛 ”叹入有限和戈:(a)称为二角和一为了研究人伽)，把积分区间10.1}划分成“优”弧和‘劣”弧，也就是分成以具有“小”分母和’‘大”分母的有理点为中心的区间对于许多加性问题，能成功地求出(具有适当精度)“优”弧匕的积分(在“优”弧l_对立的三角和接近于小分母的有理二角和，它已经被求出而且是“大的”);至于“劣”弧，它们含有!0，!l中的大部分的点，在其上的三角和是“小的”，可以用非平一月的方法估计出来(见三角和法(meth浏or’trl即nometric sums);B..o印扭口阳法(vino盯adoV method))，因此可以得到大(N)的渐近公式. 三角和形式的圆法与BHHol林动月OB的估计三角和的方法一起，得到了加性数论中的一些最强的结果(见W颐。g问题(Waring Problem，;Gddb.山问题(Goldbach Problern);G汉dba山一Waring问题(Gold-baeh一Waring Problem);Hil映rt一K柳ke问题(HII-bert一K月mke Pr()blem)).【补注】1面叙述的圆法通常称为Hardy一Littlew‘xxl法或H盯dy一Li川ewOX」圆法.这方法适用f一些十分不相同的情况.下面是一些例子.Davenrort-Hellbron定理(Davepport一Heilbron theorem)说，设几l，二，凡化)2人+l)是实数且当丸是偶数时符号不全相同，而且至少有一个比值天~石是无理数，那么对于任何叮)0，存在不全为零的整数x，，…，x，使得{、又+一十从又、}<叮设/是自然数的子集，d卜)>0其中‘I(、、)是上渐近密度(asymptotle density).那么Furstent，erg-S众rk6zy定理fFurstenberg一S合rk6zy theor姗)说:如果R(的是J一川=厂的解的个数a，a’任·，、<。，义‘N，那么lim。。32R佃)二0另一个例子是B此h定理(Blrch theorem)，‘已说:使人个奇次齐次塑同时为零的零点空间的维数随着这些齐次型的变量个数的增加而任意增大.

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