补充资料：保角映射

保角映射
Conformal mapping

因为若wl=az，+夕，wZ=azZ+夕，则wZ一wl=a(22一21)，于是IwZ一wl}=!a}·122一z，};又arg(w:一wl)=arga+arg(22一21)，每一条线段旋转了角度arga。 变换W一告，此处*表示2的共、，实质上保合时一夕y尹。只不过是为了保证分式不会恒等于常数。立即可以证明，这个变换在扩充平面上是一对一的。这种变换的重要性质之一是使任何四个不同点的交比保持不变。如果这些点是21，22，23，z‘，其交比定义为l一22)(23一24):一23)(z‘一z，)。(4)(z一(z(21，22，z。，z;)当其中一点在无穷远处时，则给以适当的约定;若像点是、1，w:，二3，二;(其中任何一个可以在无穷远处)w;)，只要直接加以验证即可证明(wl，，2，、3，=(21，22，23，24 如果四个点位于同一圆上，它们的交比是实的，如下式所示:之4一之1之4一之3=0或，。(5) g r a 一Z一Z2一Z g r a图2一个逆保角变换证了二g切一g一，W，一街(图2，。这个变换不是由z的解析函数定义的，因此不是保角的。但是这个变换等价于连续进行两个变换Z，一*，W一奋。第一个变换仅仅是平面绕x轴旋转180。，它使所有的角在数量上保持不变但方向相反，因此是逆保角的;第二个变换是保角的。于是W一告(叫做对于单位圆的反演)也是逆保角的;除了z一。与w一o没有像外，它在整个z平面与w平面之间是一对一的.为要避免这些例外，通过在“无穷远处”引进理想的(或虚构的)点z一co，w~二，可以将平面加以“扩充”。当z接近于零时，w就远离w~。;所以w一co可以认为是z一o的像，且w一。可以认为是z~co的像。有了这样的约定，在扩充平面上，变换就是一对一的。在无穷远处曲线间的夹角，可以通过研究当一个交点无限远离时弦的极限来引进.，或者通过以球面上的一点为投影中心，将平面球极投影到球面上(此处平面上的无穷远点投影到投影中心)来引进。无论刀。一种情形，在变换?一告，?一音之下，即使在无穷远处的角在数值上不变这一点也是真实的。

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