补充资料：小分母

小分母
small denominators

则用在同样类型的问题中〔见fsl一【7]).条件(2)和(4)也是(幻收敛的必要条件(对更复杂的退化情况，见【71).如果这些条件不满足，不需要是一形式为(9)的解析(或者甚至连续)不变流形. 限制条件(2)，(6)，(7)中最严格的条件(7)，当，>n一1时，几乎对所有的(与Le比gue测度有关)向量A都满足.在D如咖毗‘遇近(DIOPhan灯neaPp阳xln以石。出)理论中研究了向量A的(2)，(6)，(7)这种类型的性质.二维情况已经得到了相当好的研究.令q，是几“又之/几.<0的第l个收敛连分式(continued加雨on)的分母，则(6)与级数 导hiq]十， J二1 ql的收敛性等价，(2)与它的各项的有界性等价(亦见[9}，【10]). 已经讨论了带有变量O和A的小除数(l)(见{61). 小除数最初是在天体力学中遇到的，而基本的线性问题是在1884年由H .Bnu书解决的.一般来说，在太阳系中，频率之间有许多可公度性的点，它的一个结果是小除数(1).例如，小除数2。、一502二0.卿‘二，其中田，和。:分别是木星和土星的运动频率，在这些行星运动中，它引起了大的互逆扰动.另一个例子是:在小行星区和土星环中的间隙对应着具有扰动体(分别为木星和土卫一)频率的谐振.小分母[骊目三山”阅恤.加略;M~3”姗e”耀月“]，小除数(51几川di讹ors) 形如下式的除数 i(P，O>+三 三i夕1田!+…+i几口。+ql几1+…+q。又。，(1)它出现在应用rraylor级数，Fo~级数或Po如on级数对微分方程积分时得到的级数的系数中;其中P=(夕1，’‘’，尸。)，Q二(叮、，·，住。)是整向量，。=(仍、，…，口。)是实向量，八“(又、，…，又。)是复向量，而<·，·>表示内积.解的存在性及其性质，例如解析性，光滑性等，本质上是依赖于数呜，又*的运算性质和微分方程同样的性质(解析性，光滑性等).下面给出的条件保证了与解析问题相对应的解的解析性.对线性间题和非线性问题，这些条件是不同的. 1.线性问题 a) Taylor级数(几刃。rsen己).给定一个方程 小袱，__一，~一? 乞弓公‘兄。x*二伞(X)三乙势。x了”“义犷， 君、日气’“一“丁‘一’掩下>，。’“ 叼‘)0其中X=(x，，…，x。)，中在X=0时解析(其中价(0)=0)且由给定的T匀10r级数表示，则这个方程的解七由Taylor级数给出 七一艺户二华六卜x甲’…二分· 曰(Q，A)如果存在。，v>0，使得对所有整数值Q)O，笋O，不等式 {(Q，A>})。。一’IQ.，}Q}=}q，{+…+!q。}，(2)成立，则在零的邻域，上述级数收敛.在所有解析函数类价里，这个条件是最优的;它是级数心收敛的必要条件. b)Fo一级数(Fo~sen留).给定一个方程 艺粤。，一州Y)二艺么exP‘<尸，Y)， ，=-.口夕‘J’‘’《I，不》，。’‘”__、 (3)其中Y二(yl，…，y，)，而且右端表示为Fo一级数，则这个方程的解叮由Fo~级数给出 ，一艺军.终一exp‘<尸，:>， ‘i<尸，。>一r’，、-，-一当必解析，而且当 腼些」二二竺卫互上)o(4、 ，P仁二一PI时，上式的极限是对一切整数值尸取的，<尸，O>尹0，则在带ilm州<。。中上面的级数收敛.在形如(3)的所有解析函数类价中，这个条件是最优的 方程(3)是对在环面上的常微分方程(见环面上的微分方程(山价北爪闭闪坦t10ns on a tonJS))组的约化中得到的(见【l];那里(2)错误地代替了(4)).当条件周期函数少(Ot)对t积分时，情况是类似的.在对非线性问题迭代求解时，它的每次逼近导出了类似的线性问题(见扰动理论(pextux喻ion theory)). 如果(2)或(4)不满足，则对应问题的非形式解不需要解析，光滑或甚至完全不需要存在(取决于A和Q的运算性质)，虽然形式解，即级数心和叮，总是存在的(见〔11). 2.非线性问题.在这些问题中，小除数(l)不单独出现，而是以积的形式出现. a)Taylor级数(几刃。r series).在一个固定点X=0附近，考虑方程组 交，=又Ix，+x，伞，(X)，j=l，…，。(5)其中叱是一个没有自由项的收敛的几功。r级数.令对整值Q)0，Q笋0时，笋0，则有一个形式上可逆的坐标变换 x，=“，+u，七，(U)，j二l，…，n，其中气也是没有自由项的毛州or级数，它把(5)变成标准形式 。，=又j妈，，二l，一，儿.(5’)如果 杀in召 )二二拱止>一的‘6) ，梦12‘成立，其中当!Q}<2‘，(Q，八>笋0，Q)0时，刀，=~{})。!Q}一’(7)下，首先由C.L.Sie罗l(1942;见【21，[3])求解了这种形式的非线性问题.在这个条件下，h口，)hi。

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