补充资料：Campbell-Hausdorff公式

Campbell-Hausdorff公式
ampbell- Hausdwff formula

　　的闭包.这时，映射 盖xn eXO:Xes今e=》— 沂或〕n!为注到乘法群1十元，上之连续一映射，其中直.为无常数项的级数集合.它的逆映射是 ，一少一，·。，一暑工书止。一，):映射exp在L上的限制是L到群1十L，上的一一映射，所以我们能在Lie代数L的元素集中引进群运算xoy=hi(e’ey).可以证明此群中由“，v生成的子群为自由群.Campbell一Hausdorff公式为uov提供了表达式，即将uov表成u和v的幂级数 艺艺子韶华:又。) 育六。艺仇+q!)‘’ x几二上二亚纽吐一=竺匕言=卫生“一且 P一!q一!…P。!如!(此级数之一般项中出现p;次。，接下去为q.次”，“’，p。次u，接下去为叽次。).或者(用伴随表示(a dx)妙)=【x，yl): w一夸土，‘w，十袱、_ 甲了n— r .5孙0其中 蔽_=，上卫呈~丫 一二二，刀卫 ·“·{{万粤呼}半{(·)，w;s一:l止兴·:二}万呼呼{‘·).其中艺’表示和号取遍r，十…+‘一r，s:+…十、一“一1，r.十51)1，…，‘一:+气一，)1;而艺..表示和号取遍r一+…+气-一r一l，s，+…+气一、=s，r一+51)l，.二，rm一+s二一)1. J.E.Campbell(川)首先研究w的表达式.F.Hausdor『([2])证明了w可用。和v的换位子来表达，即证明了它是Lie代数L中元素. 如果g为完全非离散赋范域K上赋范Lie代数，当u，v‘g时，级数(*)在零的一个邻域中收敛.于是在g中零的附近可以定义一个K上具有Lie代数g的局部Banach Lie群结构(在特殊情形为Banach Lie群结构).这也给出了具有已知Lie代数的局部Lie群的存在性证明(Lie第三定理(Lie third theorem)).反之，在任一局部Lie群中，可用Campben一Hausdorff公式给出乘法在标准坐标下的表达式.【补注】记月”为月的。次非交换多项式构成的分量，则月一rI井一1才、类似地，乙一rI二，尸 关于w二uv的公式也称为Baker一Campbell一Hau-sdor任公式(Bakc卜CamPbe工l·Hausdor仔forfnula)或者Campbell一I姐ker一Hausdor汗公式.它的前面儿项为 W二·u十U一卜;一{“司十 +青一、!·喇+六!”，!U，·]]+4一用wr几和w人表出的公式称为〔、mpbel卜 Hausdorff显式(Dynkln的形式)C印mpbeU一HaUsd倪任公式【C别团pbeU一Ha理月优任俪-m川a;助Mn6e几月a一Xaye皿op恤加pMy月a] 在“，v的形式幂级数代数中计算 w=In(eu了)的一个公式，其中u，v适合结合律但不适合交换律.确切地说，设A为域Q上具有自由生成元u和。的含么元的自由结合代数;设L为A的L记子代数，它由u和。按照换位运算lx，y]=xy一yx生成;记通和L分别为A和L的自然幂级数完全化，即A为幂级数环，具有结合而非交换的变元u，。，而L为L在A中
　　

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