1) abelian subgroup
交换子群
1.
Let G be a finite group, M(G) the set of maximal Abelian subgroup of G, i.
设G为有限群，G的极大交换子群的阶的集合记为M(G)，即M(G)={|N||N交换，N＜G，且对M≤G，M交换，若N≤M，则G=M或N=M}。
2.
Maximal subgroup, minimal subgroup and abelian subgroup are three classes of very important subgroups, which played an important part in the study of the structure of finite groups.
极大子群、极小子群和交换子群等是有限群中三类非常重要的子群,它们在有限群结构的研究中起着非常关键的作用。
3.
By restricted on the centralizer of abelian subgroup,there is a definition of B-group:Call a fintie group G B-if either CG(A)=G or CG(A)=AG for any abelian subgroup A of G.
交换子群是群中相当重要的一类子群,它对群的结构有很大影响。
2) Commutative zero-divisor semigroup
交换零因子半群
3) maximal Abelian subgroup
极大交换子群
1.
Let G be a finite group, M(G) the set of maximal Abelian subgroup of G, i.
设G为有限群，G的极大交换子群的阶的集合记为M(G)，即M(G)={|N||N交换，N＜G，且对M≤G，M交换，若N≤M，则G=M或N=M}。
4) commutative normal subgroup
交换正规子群
5) invariant Abelian subgroup
正规交换子群
6) abelian group
交换群
1.
In this paper,we consider some abelian subgroups,such as abelian subgroups generated by two elements,elementary abelian subgroups,maximal abelian subgroups,cyclical subgroups,minmal subgroups,whose centralizers are equal to its normalizers,so we obtain some necessary and sufficient conditions of abelian groups and cyclic groups,and improve Zassenhaus Theorem and Chen Zhongmu,Theorem 0.
利用交换子群的中心化子和正规化子对有限群结构的强的控制作用,通过限制二元生成交换子群、初等交换子群、极大交换子群、循环子群、极小子群等的中心化子一致于正规化子,得到交换群和循环群的7个充分必要条件,改进了Zassenhaus定理和陈重穆在文献[2]中提出的定理0。
2.
We prove that if G is also an abelian group, then the group is amenable.
当 G是交换群时 ,给出一种证明其顺从的方
3.
We use the number of conjugacy class charactics Abelian group.
用群的共轭类个数刻画了交换群,同时用一个很简洁的方法重新证明了Frobenius G提出的一个著名问题:对于一个固定的数自然数n,共轭类数为n的有限群,在同构的意义下是有限的。
补充资料：交换群
其运算适合交换律的群，或称阿贝尔群。挪威数学家N.H.阿贝尔在讨论高次方程时曾用到过有限交换群，为了纪念这位著名数学家，而常把交换群称作阿贝尔群。交换群是一般群论中的一个独特分支。在拓扑学和代数学中常常构造一些交换群，作为讨论问题的工具，例如，拓扑学中的基本群、同调群、代数学中的布饶尔群等等。交换群论与代数拓扑、模论、同调代数、环论等有密切的联系。
交换群作为特殊类型的群，也有诸如元素的阶、群的阶、子群、商群等概念以及相应的结果（见群）。在交换群中，子群和正规子群是相同的概念，习惯上把交换群的运算记作加法，用0表示群的单位元素,用-α表示元素α的逆元素,用nα表示α的n次幂,交换群的直积改称为直和。
有限非交换群有复杂的结构，至今还不完全清楚。然而有限交换群却有着非常简单的结构。1878年，F.G.弗罗贝尼乌斯等证明了下面的基本定理：任一有限交换群G可表成有限个且阶为素数幂的循环群的直和，即，其中k是自然数，Gi 是循环群且,pi是素数，ni是自然数，并且数k和是由群G完全确定的。这个定理是一个具有典型意义的结构定理。关于有限交换群的子群、商群、自同态等问题，都可以利用这个定理去解决。因而，交换群理论的主体是研究无限群。
对于具有有限个生成元的无限交换群G都可表成有限个循环群的直和：其中Gi是循环群且,pi是素数,ni是自然数。而Fj都是无限循环群；且非负数k,s以及由群G惟一确定。这是对于有限交换群基本定理的一个完满的推广。
以上两个定理是一系列研究的起点，启示人们考虑还有哪些群类（更一般地，模类）可表为循环群（循环模）的直和，这样的群类具有什么性质，等等。
n个（有限个或无限个）无限循环群的直和G，称为自由交换群或自由群，其个数(基数)n是群的不变量,称为自由群G的秩。自由群在交换群理论中所占的地位,与非交换自由群在一般群理论中的地位相当，即任意一个群A总可看成自由群的同态像。为此，只要取定群A的一个生成元集，并相应地取符号集{xα,α ∈I}，以xα为生成元可作无限循环群α>，再作它们的直和即得自由群G=嘰α>。G中元素都可惟一写成有限和形式是整数。因此，可作映射
易知，φ是自由群G到群A上的同态映射。还可以证明,自由群的非零子群仍是自由群。
若干个循环群的直和G具有与自由群类似的一些性质。例如，这样的直和G的子群,也是一些循环群的直和；当把G表成无限循环群与阶为素数幂的循环群的直和时，这种表法在同构意义下是惟一的，即其中无限循环群的个数与阶为素数幂的循环群个数都由G本身惟一确定。
每一元都是有限阶（无限阶）的交换群，称为周期群(无扭群)。既含有有限阶元又含有无限阶元的群，称为混合群。每一元的阶都是素数p的幂的群,称为准素群或p准素群。
除群是个重要的而且已被完全刻画了的群类。所谓除群G,是指对于任意自然数n和任意元素α,方程nx=α都有解的群G。不难验证,全体有理数关于数的加法作成一个无扭除群；而对于固定的素数p及所有自然数n，一切pn次单位根的全体关于复数的乘法作成p准素群P，它也是除群，并记作p∞型群。任意除群都是若干个有理数加群和若干个p∞型群（对某些素数p）的直和。R.贝尔指出除群具有如下特性:若群G含有一个除子群h（即h本身是除群）,则h必是G的直和项,即有子群K使G=h嘰K。反之，具有如下性质的群h必是除群：若h是群G的子群，则h必是G的直和项。除群是模论中重要的入射模概念的一个原型。不含除子群的群，称为简约群。对任意交换群的研究可归结为对简约群的研究。
交换群G中有限阶元素的全体可作成一子群h，称为G的周期子群,而商群G/h是无扭群。周期群G中阶为素数p之幂的元素的全体G(p)是G的子群,且有(p取遍所有素数)。因此，周期群的研究可归结为准素群的研究。设G是p准素群,对自然数n规定。易知,pnG是子群,且有。设非零元素α∈G，若有n使得α∈pnG,而G,就把n称为α的高。否则，就说α的高是∞。因此,α的高就是使方程pmx=α在G中有解的最大自然数m(或∞)。高是交换群论中最重要的概念之一。除群中每一元素的高都是∞，而循环群的直和中则没有高为∞的元素。
重要的普吕菲尔定理给出一些可表为循环群的直和的某些群类：①若G是p准素群且有n使pnG={0},则G是循环群的直和。②若G是可数(即|G|是可数基数)p准素群，但是它不含高为∞的元素，则G是循环群的直和。
含有高为∞的元素的群不可能表成循环群的直和，对此需另寻刻画方法。H.厄尔姆在20世纪30年代作出了影响深远的贡献。他对p准素群G引入了定义在序数集上取值基数的一个函数??G(α) (后来称之为厄尔姆不变量)，给出了重要的厄尔姆定理:两个可数p准素群G和h是同构的，当且仅当它们有相同的厄尔姆不变量，即对所有的序数α，有??G(α)=??H(α)。近年来,这个定理在I.卡普兰斯基和E.沃克等人手中得到进一步的推广。例如，对于一类所谓完全投射群，相应的结论也成立。
对于无扭群，秩是一个最基本的概念，它类似于向量空间的维数。如果对于群G的有限个元素α1,α2,...,αn有不全是零的整数k1,k2,...,kn,使得,就说α1,α2,...,αn是相关的，否则就说是无关的。如果G的一个子集S的任意有限子集都是无关的，就说S是无关的。群G的所有极大无关子集具有相同的基数，称为G的秩。秩为1、2的无扭群的结构基本上已清楚，例如,秩为1的无扭群恰为有理数加群的一切子群。其他一些无扭群也作过研究，例如完全分解无扭群以及它们的纯子群。总之，对无扭群的研究远不如对周期群的研究深入。
混合群G总可以看成周期群A借助无扭群B的扩张。最初的一些研究，常集中于如下的问题：在什么条件下这个扩张G是可裂的,即有G=A嘰B成立。R.贝尔给出一个结果：若混合群G的周期子群A是一些除群和一些阶小于某固定n的循环群的直和，则G是可裂的。近年来，I.卡普兰斯基、R.B.沃菲尔德等找到了一些方法，能从整体上讨论混合群，从而开创了一个新局面。
任一交换群都可看成整数环上的模，为此只需引入模运算n·g=g+...+g(n个)即可。交换群作为特殊的模，为一般模论提供了大量的概念和定理的原型，例如张量积就是其中之一。交换群G的自同态对应全体End(G)关于自同态的乘法和加法作成一个环,而交换群G可以自然地看成End(G)的任意子环上的模。交换群、模论、环论是互相密切联系的。
参考书目
I.Kaplansky，Infinite Abelian Groups，Revised ed.,Univ.of Michigan Press, Ann Arbor, 1969.
L.Fuchs,Infinite Abelian Groups，Vol.1～2，Academic Press,New York,1970,1973.
交换群作为特殊类型的群，也有诸如元素的阶、群的阶、子群、商群等概念以及相应的结果（见群）。在交换群中，子群和正规子群是相同的概念，习惯上把交换群的运算记作加法，用0表示群的单位元素,用-α表示元素α的逆元素,用nα表示α的n次幂,交换群的直积改称为直和。
有限非交换群有复杂的结构，至今还不完全清楚。然而有限交换群却有着非常简单的结构。1878年，F.G.弗罗贝尼乌斯等证明了下面的基本定理：任一有限交换群G可表成有限个且阶为素数幂的循环群的直和，即，其中k是自然数，Gi 是循环群且,pi是素数，ni是自然数，并且数k和是由群G完全确定的。这个定理是一个具有典型意义的结构定理。关于有限交换群的子群、商群、自同态等问题，都可以利用这个定理去解决。因而，交换群理论的主体是研究无限群。
对于具有有限个生成元的无限交换群G都可表成有限个循环群的直和：其中Gi是循环群且,pi是素数,ni是自然数。而Fj都是无限循环群；且非负数k,s以及由群G惟一确定。这是对于有限交换群基本定理的一个完满的推广。
以上两个定理是一系列研究的起点，启示人们考虑还有哪些群类（更一般地，模类）可表为循环群（循环模）的直和，这样的群类具有什么性质，等等。
n个（有限个或无限个）无限循环群的直和G，称为自由交换群或自由群，其个数(基数)n是群的不变量,称为自由群G的秩。自由群在交换群理论中所占的地位,与非交换自由群在一般群理论中的地位相当，即任意一个群A总可看成自由群的同态像。为此，只要取定群A的一个生成元集，并相应地取符号集{xα,α ∈I}，以xα为生成元可作无限循环群
易知，φ是自由群G到群A上的同态映射。还可以证明,自由群的非零子群仍是自由群。
若干个循环群的直和G具有与自由群类似的一些性质。例如，这样的直和G的子群,也是一些循环群的直和；当把G表成无限循环群与阶为素数幂的循环群的直和时，这种表法在同构意义下是惟一的，即其中无限循环群的个数与阶为素数幂的循环群个数都由G本身惟一确定。
每一元都是有限阶（无限阶）的交换群，称为周期群(无扭群)。既含有有限阶元又含有无限阶元的群，称为混合群。每一元的阶都是素数p的幂的群,称为准素群或p准素群。
除群是个重要的而且已被完全刻画了的群类。所谓除群G,是指对于任意自然数n和任意元素α,方程nx=α都有解的群G。不难验证,全体有理数关于数的加法作成一个无扭除群；而对于固定的素数p及所有自然数n，一切pn次单位根的全体关于复数的乘法作成p准素群P，它也是除群，并记作p∞型群。任意除群都是若干个有理数加群和若干个p∞型群（对某些素数p）的直和。R.贝尔指出除群具有如下特性:若群G含有一个除子群h（即h本身是除群）,则h必是G的直和项,即有子群K使G=h嘰K。反之，具有如下性质的群h必是除群：若h是群G的子群，则h必是G的直和项。除群是模论中重要的入射模概念的一个原型。不含除子群的群，称为简约群。对任意交换群的研究可归结为对简约群的研究。
交换群G中有限阶元素的全体可作成一子群h，称为G的周期子群,而商群G/h是无扭群。周期群G中阶为素数p之幂的元素的全体G(p)是G的子群,且有(p取遍所有素数)。因此，周期群的研究可归结为准素群的研究。设G是p准素群,对自然数n规定。易知,pnG是子群,且有。设非零元素α∈G，若有n使得α∈pnG,而G,就把n称为α的高。否则，就说α的高是∞。因此,α的高就是使方程pmx=α在G中有解的最大自然数m(或∞)。高是交换群论中最重要的概念之一。除群中每一元素的高都是∞，而循环群的直和中则没有高为∞的元素。
重要的普吕菲尔定理给出一些可表为循环群的直和的某些群类：①若G是p准素群且有n使pnG={0},则G是循环群的直和。②若G是可数(即|G|是可数基数)p准素群，但是它不含高为∞的元素，则G是循环群的直和。
含有高为∞的元素的群不可能表成循环群的直和，对此需另寻刻画方法。H.厄尔姆在20世纪30年代作出了影响深远的贡献。他对p准素群G引入了定义在序数集上取值基数的一个函数??G(α) (后来称之为厄尔姆不变量)，给出了重要的厄尔姆定理:两个可数p准素群G和h是同构的，当且仅当它们有相同的厄尔姆不变量，即对所有的序数α，有??G(α)=??H(α)。近年来,这个定理在I.卡普兰斯基和E.沃克等人手中得到进一步的推广。例如，对于一类所谓完全投射群，相应的结论也成立。
对于无扭群，秩是一个最基本的概念，它类似于向量空间的维数。如果对于群G的有限个元素α1,α2,...,αn有不全是零的整数k1,k2,...,kn,使得,就说α1,α2,...,αn是相关的，否则就说是无关的。如果G的一个子集S的任意有限子集都是无关的，就说S是无关的。群G的所有极大无关子集具有相同的基数，称为G的秩。秩为1、2的无扭群的结构基本上已清楚，例如,秩为1的无扭群恰为有理数加群的一切子群。其他一些无扭群也作过研究，例如完全分解无扭群以及它们的纯子群。总之，对无扭群的研究远不如对周期群的研究深入。
混合群G总可以看成周期群A借助无扭群B的扩张。最初的一些研究，常集中于如下的问题：在什么条件下这个扩张G是可裂的,即有G=A嘰B成立。R.贝尔给出一个结果：若混合群G的周期子群A是一些除群和一些阶小于某固定n的循环群的直和，则G是可裂的。近年来，I.卡普兰斯基、R.B.沃菲尔德等找到了一些方法，能从整体上讨论混合群，从而开创了一个新局面。
任一交换群都可看成整数环上的模，为此只需引入模运算n·g=g+...+g(n个)即可。交换群作为特殊的模，为一般模论提供了大量的概念和定理的原型，例如张量积就是其中之一。交换群G的自同态对应全体End(G)关于自同态的乘法和加法作成一个环,而交换群G可以自然地看成End(G)的任意子环上的模。交换群、模论、环论是互相密切联系的。
参考书目
I.Kaplansky，Infinite Abelian Groups，Revised ed.,Univ.of Michigan Press, Ann Arbor, 1969.
L.Fuchs,Infinite Abelian Groups，Vol.1～2，Academic Press,New York,1970,1973.
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条