补充资料：极值曲线

极值曲线
extremal

曲线. 在泛函J切依赖于几个函数的情形，即(l)中的夕是一个。维向量y=仍，…，共)的情形下，EI日er方程成为n个二阶常微分方程的组: 。d~ 凡一云凡一”，污l，…，n，(4)极值曲线(折极值曲线)的定义是类似的. 在关于条件极值问题的更一般的情形下(见等周问题(isoperinrtric problem);BdZa问题(Bo巨prob-」翻);吻尹琪葬问题(加脚力罗problem)，以及Mayer问题(M解 r problem))，极值曲线是利用乘子法则来定义的. 例如，假设一分段光滑曲线夕(x)=(y，(x)，…，凡(x))实现加脚n罗问题 J。)一f了(二，，，，，)、、，、 )〔5) f:R‘xR口xR”~R，，) 毋。(x，夕，y‘)=0，口二l，…，川<。，1 了‘6) 价。:R‘xR丹XR丹~R，，) 价*(欠，，夕(xl)，xZ，夕(凡))=0，k“l，…，尸(2n+l(7)中的极值.于是，由乘子法则，存在这样的常数(一般说来，不等于零)又。和这样的乘子又:(x)，(i=1，…，m)使得向量函数y(x)是泛函 工2 ，(，，x)一了;(x，，，，;*)、x(8) xl的通常的(非条件的)极值曲线，其中 F(x，y，厂，劝=又扩十又，价1十…十兄，汽. 泛函(8)的非条件极值问题的Edler方程组 _d一，，、，。.，、、 F*。一号一F;，，=甲。(x，y，y‘)=0，口，l，…，，，(9) 一人，dx一‘”丫，丫一，，，，，一。 _d_ F ..一于一F~.=0，i=1.】…n .f 10) 一儿dx一片包括(9)的m个与约束(6)一致的方程，以及(10)的n个附加方程，(10)和(9)一起(在给定的初始条件下)可定出未知函数y，(x)，…，儿(x)，义1(x)，…，又，(x). 关于泛函(8)的非条件极值问题改写的Euler方程组(9)，(10)的光滑〔分段光滑)解称作条件极值问题(5)，(6)的极值曲线(折极值曲线). 一曲线是极值曲线这一性质，并不是这曲线实现泛函极值的唯一的必要条件.这由下面的事实可以解释:Ed晓r方程是作为泛函的第一变分等于零的必要条件导出的，因此这里仍有研究泛函的第二变分的符号的问题.极值曲线的进一步的研究借助于肠寥助罗，节几记巧仇璐和3acobl的必要条件，也借助于基于构造一极值曲线场的充分条件.【补注】E妞肠r方程还称作Ed匕r一肠脚n罗方程(E妞七r.肠郎明锣闪呱山n).极值曲线【ex加期山;，KerpeMa几‘} E吐曰方程(Euler equatlon)的光滑解，Euler方程是变分学问题中极值的必要条件. 在最简单的变分学问题的情形中，即对于泛函 x2 J。)一了r(x，夕，，，)dx，(1) x!在所有满足边界条件 夕(x;)“y:，y(x2)”儿(2)的曲线y(x)中求它的极值的问题，ELUer方程有形式 ~d一 F一止土-F=O， 一y dx一夕即它是一个二阶常微分方程.它的显式是 凡，少”凡川十凡、一凡二0.(3)如果间题(l)，(2)中的极值由一光滑曲线y(x)扭1乓x簇气)达到，那么y(x)是一极值曲线，即它是E山er方程(3)的具有初始条件y(xl)刊，的解. 当凡，，转0(x.簇x(凡)时，Euler方程仅有光滑解(如果F(x，y，y’)是二次连续可微函数)，如果凡，，可以等于零，那么E川er方程的解还可以包括分段光滑曲线.假设一分段光滑曲线y(x)(x、(x‘凡)产生出问题(1)，(2)中的极值.于是它的每一个光滑部分是一极值曲线，且在角点(c，y(c))处应该满足W亡ierstl飞巧s-E己n拍团旧必要条件(见W6曰St口留一D油Ilallll隅角条件(叭几论比tn处洛一E攻山迢nn conler conditions)): F，，!厂(。一。)二凡卜，〔:+。)， 【F一犷兀，〕标、一。)=IF一犷君·j睁(:+0)·由若干段极值曲线组成的且满足W己ie巧枉a弱~E司11必nn隅角条件的分段光滑曲线称作折极值曲线(polygonalex沈n分l或broken ext代肛坦1).如果问题(l)，(2)中的极值由一分段光滑曲线达到，那么这曲线是一条折极值曲线.但是，为了简短起见，常常省略术语“折”，提到泛函(l)的极值曲线，就意味着是折极值

说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。