2) bifurcations of critical periods
局部临界周期分岔
1.
There are two important types of problems for center-type differential equations, one of which is the problem of weak foci and the Hopf bifurcations, while another is the problem of weak centers and bifurcations of critical periods.
第一章绪论介绍了中心型微分方程的基础知识，包括平衡点、细焦点、中心、k阶细中心、等时中心和局部临界周期分岔的定义和周期系数引理，并介绍了近年来中心焦点问题和中心与细中心问题方面的发展情况，还概括了本文的主要工作和结果。
3) critical bifurcation
临界分岔
5) transcritical bifurcation
跨临界分岔
1.
Moreover,the sufficient conditions of existence for the transcritical bifurcation and the singularity induced bifurcation are obtained.
首先,研究参数临界状态下,该模型平衡点的稳定性情况,并进一步给出系统存在跨临界分岔和奇异诱导分岔的充分条件。
2.
Theoretical analysis and numerical results show that a steady positive period-1 solution bifurcates from the semi-trivial periodic solution through a transcritical bifurcation.
理论分析及数值模拟表明,半平凡周期解通过跨临界分岔获得稳定的正周期-1解。
6) Critical period
临界周期
1.
Theoretical analysis for microbend critical period of optical fibers;
光纤微弯临界周期的理论分析
2.
Micro-bend optical fiber sensors are analyzed by use of the light ray tracing that the micro-bend critical period of optical fiber sensor is the space repeat distances within the fiber, through which light ray transmits at the maximum incident angle, and the result is coincident with the couple made theory analysis and experimental results.
采用光线寻迹法分析微弯光纤传感器，指出其微弯临界周期即为光线以最大入射角在光纤内传播的空间重复距离，结论与耦合模理论分析及实验结果一
补充资料：分岔理论
研究分岔现象的特性和产生机理的数学理论。对于某些完全确定的非线性系统，当系统的某一参数μ连续变化到某个临界值μc时，系统的全局性性态（定性性质、拓扑性质等）会发生突然变化。μc称为参数μ 的分岔值或分枝值。这种现象称为分岔现象，是一种有重要意义的非线性现象。分岔现象不仅是数学现象，它在自然界中也有种种表现。早期，除了数学理论的研究外，通过数字计算机进行的数值实验是研究非线性微分方程中的分岔现象的主要手段。20世纪80年代前后，关于分岔的真正的实验观测也已在迅速增加。
分岔现象的研究引起了众多领域的科学家的兴趣。理论和实验的结果都表明，分岔现象是出现在许多学科中的普遍物理现象。早在19世纪，C.雅可比、H.庞加莱等人就已引进"分岔"这一术语。迄今已出现了许多关于分岔理论的著作，其中除大量的数学文献外，在弹性结构、流体力学、天体物理学、化学反应、非线性振动、生物发育、基本粒子理论等领域中有关分岔现象的文献数量也很多。在系统与控制理论中，分岔理论可以用来探讨非线性系统中分岔现象的产生和消失、分岔性失稳的出现和控制以及分岔性失稳系统的调节和控制等问题。分岔理论也为协同学、耗散结构理论、数学生态学提供了有用的工具。20世纪70年代后期关于混沌现象和奇异吸引子的研究结果表明，连续发生的分岔现象往往是出现混沌现象的先兆。混沌现象是比分岔更为复杂的一类非线性现象。它不是简单的无序和混乱状态，而是没有明显的周期和对称、却具备丰富的内部层次的有序状态。分岔理论对许多实际系统的研究有重要意义。
从数学角度来说,分岔理论主要研究非线性方程(微分方程、积分方程、差分方程等)中的参数对解的定性性质的影响。其中，参数与解的稳定性、周期性、平衡位置等基本性质的关系是研究的重点。早在1885年，庞加莱就提出了一套平面动力学系统的平衡状态与参数的关系的理论。他研究了参数通过分岔值时系统轨线的拓扑结构的变化状况，建立了相应的判别准则。20世纪50年代，苏联学者A.A.安德罗诺夫推广了庞加莱的结果，并在非线性振动理论中加以应用。后来，又有人研究高维欧几里德空间或巴拿赫空间中的分岔理论，但结果还不多。
分岔现象的研究引起了众多领域的科学家的兴趣。理论和实验的结果都表明，分岔现象是出现在许多学科中的普遍物理现象。早在19世纪，C.雅可比、H.庞加莱等人就已引进"分岔"这一术语。迄今已出现了许多关于分岔理论的著作，其中除大量的数学文献外，在弹性结构、流体力学、天体物理学、化学反应、非线性振动、生物发育、基本粒子理论等领域中有关分岔现象的文献数量也很多。在系统与控制理论中，分岔理论可以用来探讨非线性系统中分岔现象的产生和消失、分岔性失稳的出现和控制以及分岔性失稳系统的调节和控制等问题。分岔理论也为协同学、耗散结构理论、数学生态学提供了有用的工具。20世纪70年代后期关于混沌现象和奇异吸引子的研究结果表明，连续发生的分岔现象往往是出现混沌现象的先兆。混沌现象是比分岔更为复杂的一类非线性现象。它不是简单的无序和混乱状态，而是没有明显的周期和对称、却具备丰富的内部层次的有序状态。分岔理论对许多实际系统的研究有重要意义。
从数学角度来说,分岔理论主要研究非线性方程(微分方程、积分方程、差分方程等)中的参数对解的定性性质的影响。其中，参数与解的稳定性、周期性、平衡位置等基本性质的关系是研究的重点。早在1885年，庞加莱就提出了一套平面动力学系统的平衡状态与参数的关系的理论。他研究了参数通过分岔值时系统轨线的拓扑结构的变化状况，建立了相应的判别准则。20世纪50年代，苏联学者A.A.安德罗诺夫推广了庞加莱的结果，并在非线性振动理论中加以应用。后来，又有人研究高维欧几里德空间或巴拿赫空间中的分岔理论，但结果还不多。
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条