补充资料：约化群

约化群
reductive group

约化群仁“月峨示egr佣P;p灿改KT姗a，印，na」 满足下边三个等价条件之一的(代数封闭域K上的)线性代数群(】加份ralgebraic grouP)二1)G的单位元的连通分支G”的根是一个代数环面(al罗blaic tor-us);2)口，的幂么根是平凡的;3)群G“是两个闭正规子群S和T的积，S和T分别是半单代数群(se-而‘simplea】罗h旧ic grouP)和代数环面.在此情况下，S是口，的换位子群，而T是G“的根，也是其中心的单位元的连通分支;S自T是有限的，且口，的任一半单子群和幂么子群都包含在S内. 一个线性代数群G称为线性约化的抽配胡y二-due石代)，如果以下两个等价条件中的一个成立:a)G的每一个有理线性表示是完全可约的(见可约表示(t司孤i比即n污entat沁n);或b)对每个有理线性表示p:G一‘GL(w)和每一个P(G)不变向量w‘碎\毛o}，评上有一个p(G)不变的线性函数f使得f(w)护0.每个线性约化群是约化群.若域K的特征为O，则反过来也对.当charK>0时情况两样:每个连通线性约化群是代数环面.但是，即使在一般情况下约化群也可以由它的表示理论加以描述.一个线性代数群G称为几何约化的(罗。服颐嵘山y red二-tive)(或半约化的(s恻~代月切沈i说))，如果对每个有理线性表示p:G~GL(W)和任意p(G)不变向量、。任w\{0}，有一个w上的非常值的p(G)不变的多项式函数厂使得f(w)笋0.一个线性代数群是约化的，当且仅当它是几何约化的(见M妞训面川假设(M也岌rord hypothesis)). 关于不变量的广义H日映”定理(H月bert theo比nl)对约化群成立.反过来也是对的:假设G是代数封闭域K上的线性代数群，并设对于任意到具单位元的有限生成的交换结合K代数A的自同构群的局部有限维有理表示，不变量代数A“也是有限生成的，则G是约化群(见〔4」). 任意有限线性群是约化群，并且当它的阶不能被dlarK整除时，它还是线性约化的.连通约化群有一个与约化Lle代数很相似的结构理论(根系(root sys-tem);W妙【群(V几ylg℃up)等等，见[2]).当G是定义在子域k CK上的连通约化群时，这一理论还可延伸到G‘上，这里G‘为k有理点群(见〔3】).此时E泊珑.子群(B心rel subgroup)，极大环面(兀以劝功已torus)以及V爬劝群的角色由定义在k上的极小抛物子群(p姗比lic subgro叩)，在k上分裂的极大环面以及相对weyl群(研阳贝gro叩)来分别扮演.群G的任意两个定义在k上的极小抛物子群可通过G‘中的元素相互共辘;对任意两个极大的k分裂环面也是如此. 若G是定义在域k上的连通约化群，则G在k上一有限次可分扩张上是可分裂群;如果再假设k为无限域，则G、在乙丸比ki拓扑下在G内稠密.如果G为约化群而H为它的闭子群，那么商空间G/H是仿射的，当且仅当H为约化的.特征O的域上的线性代数群是约化群，当且仅当它的Lie代数是约化Lie代数(见约化Ue代数(Lie川罗bra，代月议t阮)).若K二C，这等价于G是一紧Lie群的复化(见Ue群的复化(eomP』e范fication of a Lie gro叩)).

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