补充资料：Seifert纤维化

Seifert纤维化
Sdfert fibradon

有的纤维化有 P“0，r簇2; 。二0.:月.上十上十上>l: 气“2“3 P二1，r二0; {一2;(O，，0);(2，l);(2，l);(2，l)，(2，l)};对类型02—只有p=1，厂=O的纤维化;对类型n.和nZ，纤维化有夕=l，r镇1:夕=2，r=0;对类型”3，纤维化有p=2，厂=0.类型”4的所有Seifert纤维化是大的.所有小Se淦rt纤维化已列成表;有10种类型(见[3」). 三维球面上的有限群的自由作用与群50(2)在球面上的自然作用交换，因此，结果是这些作用的轨道空间具有有限基本群的Seifert纤维化.到目前为止，仅知M，的例子具有有限的兀，(M，).某些Seifert纤维化作为在代数曲面上孤立奇点的球面邻域的边界出现，它在复数乘法群的作用下是不变的.即这些是{b;(O:，p);(:，，口!);一;(:，，刀r)}型的Seifert纤维化(b+;>0).这些流形的识别使得构造具有取自考虑的C’的作用的奇异性的明显分解成为可能(也引进允许C‘作用的C，中的曲面上孤立奇异性的完全的描写).也存在通过运动的离散群的自由作用的Euclid空间的因子分解得到的局部平坦R(rr必nn流形上的Se讹rt纤维化(存在6个定向和4个不可定向的流形，除一个外，所有的在圆上有不同的纤维化，纤维是环或幻ein曲面). 灰ifert纤维化在三维流形的拓扑学(见流形的拓扑学(topo】ogy ofm山五fo】ds);三维流形(thi咫~山叱n-sional Inanifo】d))中是重要的，例如，为了识别基本群中有中心的流形(阱1).也存在具有奇异纤维的纤维化的其他类的概念的推广决ifert纤维化ts‘feI’t五h旧d皿;女妞咖pTap鱿c加eH讹] 三维流形通过圆的纤维化的类，是由H.Seifert定义的(〔11).灰ifert纤维化的每个纤维在具有通过圆的标准纤维化的流形M3中有一个邻域，它由圆盘和闭区间的乘积D，x【0，1]产生.每个点(x，0)与点(g(x)，l)相叠合，其中g是D，的转过角2拼v/拜的旋转(拜和?是互素的整数，0簇?<川.区间xx10，l]在生成实心环尸中的象构成了纤维:如果?护O，则除了中心的一个外，每个纤维由拜个区间组成;如果v>O，则中心纤维就称为奇异的(singU]ar).不变量(拜，v)通常由seifert不变量(Se讹rt in珑币ant)(:，川来替代，其中:一拜，口由条件 0<刀<“，万v主1 med“所确定.不变量。和尹允许一个几何解释:在P的边界上诱导的纤维化中，考虑子午线m(在尸中可缩但不在a尸中可缩的曲线)和平行线I(恰好一次横截地切割m)，以及还有纤维f和割线夕(所有四条曲线都是简单且闭的);则服从适当的定向，有 m=:g十双厂，l“一，g一拜f.更进一步，有Pv一:拜=1. 涉及Se晚rt纤维化的第一个问题是将它们分类，直到差一个纤维状同胚，结果是【l]，如果M，允许一个Se讹rt纤维化，则存在一个映射爪M3~矿，其中护是二维流形，纤维是汇‘(戈)，x任扩.存在六类S成rt纤维化:类O，和02，在其中，护是可定向的，M，在O、情形中是可定向的，但在02情形中是不可定向的，且在该情形中，宁的亏格至少是1;类n，，i=1，2，3，4，在其中，护是不可定向的.在情形n，中，纤维沿护中一条道路的迁移不改变纤维的定向;在情形nZ中，存在一个生成元系统且沿每一条的迁移反转了定向;在情形n3中，只有一个生成元不反转定16];而在情形n;中，只有二个生成元不反转定向;少的亏格在n。至少是2，在n4至少是3.流形M，仅对”;是可定向的.每一个S滋rt纤维化与不变量组 {b:(。，p);(，、，口，);…;(:r，口r)}，相关联，以致于直到差一个纤维同胚，确实存在一个具有给定的这个组的Seifert纤维化.这里。二O，或者n‘，刀是B，的亏格，(仪，，刀，)是奇异纤维的s成rt不变量，r是奇异纤维的数目，在。=02，n，，n。，n;的情形中，刀，蕊叫2;最后，在其他情形中，如果￡二0，或n:和模2剩余，则b是一个整数，如果对至少一个纤维“，=2，则b二o.b的几何意义如下:在每个奇异纤维的邻域的边界上取一段，并将所有这些段的集合扩张到相对于奇异纤维的整个补集中的一段.这可做到直至一个非奇异纤维;该扩张的段的边界逼近绕其扭转度b的那个纤维.在情形01和、中，当M，的定向反转时，数b由一b一代替，凤由:，一刀‘代替. 女沂成纤维化理论中有趣的第二点是证明一个闭流形M，至多允许一个相差纤维状同胚的Se涂rt纤维化.这对那些称为大灰ifert纤维化(1狱ge Seifert fib-m石。璐)已经证明了，这是型K(7r，l)的空间，即它们的同伦型是由基本群所确定的.配备有女业d纤维化的流形的基本群(灿ldall犯11tal grouP)兀，(M，)用生成元的特殊系统方便地描述出来:在奇异纤维的邻域的边界上的段qj，元素a‘，b，(或当B，不可定向时，v.)，它们在二:(护)中的象是典型生成元和非奇异的纤维h.生成元所确定的关系，在嘟彭01和口21卜堤a，ha厂’一h“‘，b，hb厂’二hr‘，。，h。丈’=h，。了’h声，一l， 口，“’g;【a、，b，]…工a，，b，]一h白.在情形n‘是 v:hv厂’二h“，。，hoj’=h，。了，h声，二l， 药’““，v卜·，;二矿，其中。‘=士1，依赖于在沿二、(少)的相应的生成元转变下定向是否反转.在具有小女流比纤维化(smallSeifert fib屁币ons)的流形中是下面的:对类型O，，所

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