补充资料：埃尔米特插值多项式逼近

    　　埃尔米特插值是一种常见的插值方法。假设在区间[α，b]上给定了n个互不相同的点x₁，x₂,...,x_n以及一张数表 (*)记m=α₁+α₂+...+α_n。早在 1878年C.埃尔米特就证明:存在惟一的次数不高于m-1的代数多项式H_n(x),使得
　　,H_n(x)为表(*)的以 为结点组的埃尔米特插值多项式。如果定义在[α，b]上的函数 ??(x)在x_k(k=1，2，...,n)处有α_k-1阶导数，并取，则称相应的H_n(x)为??(x)的以为结点组的(α₁,α₂,...,α_n)阶埃尔米特插值多项式。作为特殊情况,若诸α_k都为1,则H_n(x)就是??(x)的拉格朗日插值多项式;若n=1，则H_n(x)为??(x)的α_1-1阶泰勒多项式。最使人们注意的是诸α_k都为2的情况,这时H_n(x)为次数不高于2n-1的代数多项式。如果写
　　
　　
　　
　　
　　
　　 H_n(x)可表示为
　　
　　 在这种情况下，常取,而给以适当的限制。这个想法大致起源于拉格朗日插值多项式的研究。为了改善插值多项式的逼近度，需对其导数作一定的要求。
　　
　　为了简单，考虑定义区间为[-1,1]的情况。L.费耶尔首先让，称为函数??(x)的埃尔米特－费耶尔插值多项式。如果取切比雪夫多项式T_n(x)=cos(n arc cos x) 的零点全体为结点组, 则有绝对常数с，使得对于[-1,1] 上的任一连续函数??(x)都有式中-1≤x ≤1，ω(??,δ)为??(x)的连续性模。然而，用??_n(??,x)逼近??(x)有其饱和性,逼近阶最多为1/n。若关于[-1,1]上的x均匀成立,则??(x)是个常数。但是对于其他结点组，会有较大的差异。例如，取勒让德多项式的零点全体为结点组时,对于[-1,1]上的连续函数??(x)，相应的??_n(??,x)仅可能在(-1,1)中内闭一致收敛于??(x)，为了使n→∞时，F_n(??，x)在[-1,1]上一致收敛于??(x)，充分必要条件是。这种在区间端点发生奇异的情况并不很稀有，它促使人们去改变端点的插值情况。P.图兰首先提出在区间端点x_on=1,x_n+1n=-1处取值与函数取值相同的要求。从而构造了拟埃尔米特-费耶尔插值多项式Q_2n+1(??,x),即假定结点组是取在开区间(-1,1)中的,而2n+1次代数多项式Q_2n+1(??,x)满足条件，
　　
　　 。这时，如取为X_n(x)的零点全体，则。当然也可以考虑仅在一端插值的情况。然而，倘若将端点作为结点，又会发生剧烈的变化。例如，取,
　　
　　 ，则以 为结点组的埃尔米特-费耶尔插值多项式序列F_n+2(??,x)，对于 ??(x)=x²这样好的函数，也会在(-1,1)中处处发散。而取
　　为结点组时,相应的F_n+2(??,x)对于连续函数??(x)却有逼近阶。埃尔米特插值多项式可以从各方面扩充。例如，可以在某些结点处放弃对某些阶导数的要求，这就是所谓伯克霍夫插值。其中常见的是(0,2)插值,也即对于给定的结点组以及数组,，要确定一个次数不高于2n-1的代数多项式使得，,(k=1,2,...,n)。当取α_kn=??(γ_kn)时，考虑S_2n-1(??,x)对??(x)的逼近，也可以考虑埃尔米特插值多项式对函数及其导数的同时逼近。例如，取为结点，对于[-1,1]上的可微函数，考虑
　　
　　 对??(x)及??'(x)的同时逼近。此时有至于对于无限区间或周期函数的情形，自然也可作类似的讨论，只是在周期的情形，有时插值三角多项式却未必存在。
　　
　　至于??(x)的(α₁,α₂,...,α_n)阶埃尔米特插值多项式H_n(x)对??(x)的逼近,如果??(x)在[α,b]上有m阶导数,则在[α,b]中有与x有关的点ξ使得，式中。
　　

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