补充资料：Pfaff方程

Pfaff方程
Pfaffian equation

【补注]上文讲的是局部情况.令M为一n维流形，U为一坐标卡(之一部分).U上的一个处处不为零的微分l次形式一方面定义了U上的一个Praff方程组，另一方面又定义了U之余切丛T*U的一维子丛.这就导出了现代的关于M上的P巨ff方程之整体定义，即T.M的秩为1的子向量丛，亦见P血ff结构(Praffian stl刀ct此) 上面条目的公式(5)中所体现的命题称为关于刊习f方程的Darboux定理(I〕arboux thi刀比rn onP几ff-i皿叫业UOns).这里包含有奥妙之处.定义2s+l类的Praff方程的P‘ff形式(践沮铂们form)可以是2s+1类或2、+2类.这样Darboux定理(按其现代形式)分两步达到:i)设亡是流形M上25十l常数类Pfaff方程，则处处局部地存在定义该方程的25+l类再湃形式;且五)对25+l类Pfaff形式的典范形式的陈述，见P自ff形式(Praffian form). 这里，Pfaff方程心在x任M的类定义为二设亡在x附近由微分形式。定义;则此方程之类为25十1，当且仅当(。八(d田)‘)(x)笋O，(田八(d。)‘+‘)(x)=0.详见汇AllP臼ff方程LP肠ff妇11闰.6阅;n中叫冲ayP细e畔] 形如 。三a:(x)d、;+…+a。(x)d义。=0，。)3(1)的方程，其中x〔DC=R”，.是一个微分1次形式(见微分形式(di挽renhal forTn))，而函数aj(x)(少二1，…，n)取实值.令a，(x)6C，(D)，而且设向量场a(x)二(al(x)，…，a。(x))在区域D中没有临界点. 维数k)1的C，类流形M飞CR”，如果使在M龚上田二O，就称为P云In，方程(1)的积分流形(拍沈孚司Inanifo】d).如果过区域D中每一点有一个且仅有一个具有最大可能维数”一1的积分流形，则称刊h任方程为完全可积的(comP】ddy in僻卿b卜). Fro比nius定理(Frobe面璐山印助n):P几ff方程(1)完全可积的必要充分条件是 d。八田二0.(2)这里d田是由田经外微分而得的2次微分形式，八是外积.这时，Pfall.方程的求积化为一个常微分方程组的求积. 三维EuClid空间中的Pt瓦fl.方程的形状是 Pdx+Qd夕+Rdz=0，(3)其中尸，Q和R是x，夕和:的函数，而完全可积性的条件(2)成为 _「刁0 aRI._f日R口尸1. 尸l共‘一二二二二!+01一于二一二二二一l+ ‘L。

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