补充资料：域的扩张

域的扩张
extension of a field

域的扩张[e劝曰幽，ofa位月;p~甲H拙uo皿l 一个域，它包含给定域作为子域.记号K/介表示K是域k的扩张.这时，K也称为k的扩张域(o记rfield). 设K/k和L/k是域k的两个扩张一个域同构中:K~L称为扩张的同构(加伽中比m of extensions)或域的k同构(k·切Ino甲城mof反lds)，是指甲在北上为恒同映射.如果存在一个扩张的同构，则称这两个扩张是同构的(isOInO甲泳).若K=L，则职称为扩张K/k的自同构(autornorp恤moftheex记nsion).一个扩张的所有自同构的集合构成一个群Aut(K/k).如果K厂北是G曲幽扩张(G由佑ex怡璐kin)，则记这个群为C司(K/幻并称为域K在k上的G习」015群(Ga』oisgto叩)，或扩张K/k的C司。坛群.如果C恤】。is群是个Abel群，则称该扩张为Abel的(A次沁川). 域K中的元素“称为在k上是代数的(碱罗b邝北)，如果它满足系数在介中的某一代数方程，反之，则称为超越的〔坛山妞以泊山勿因).对每个代数元“，存在唯一的首项系数为1的多项式天(x)，在多项式环k「x]中不可约，使得天(“)=o.k上任一多项式，如果以:为根，则必被天(x)整除.这个多项式称为二的极小多乎拳(功如址阎卯l”1o耐)一个扩张K/k称为伏举的(司罗腼允).如果K中每个元素在k上是代数的.非代数的扩张称为超越的(transeendental).一个代数扩张K/k，若满足条件:k〔x]中每个不可约多项式如果在K中有一个根，则该多项式在K【x]中必分解为一次因式之积，那么就称此扩张为正规扩张(加m对extemion).子域k称为在K中是代数闭的(秘罗bra沁动yc】伪ed)，是指K中在k上代数的元素一定属于k.换句话说，K/k中的元素都是k上超越元.一个域若在其所有扩张中都是代数闭的，就称为代数闭域(拟罗b毗团yc』os曰挽ld) 扩张K/k称为有限生成的(俪回y罗朋ra曰)(或有尽掣犷学(~碗of如i晓娜))，如果存在K中有限子集，使得K与包含S和此的最小子域重合.此时我们说K由S在k上生成.如果K由一个元素戊在k上生成，则称它为手犷苹(s恤甲Ie~加)或夺厚犷琴(p山面ti呢~ion)，并写为K=k(:)一个单代数扩张k(叼由“的极小多项式完全确定.更确切地说，若介(幻是另一单代数扩张，而人=儿，则必存在扩张的同构k(“)~k(刀)，将“映为口.进一步，对任一不可约多项式f6k[X]，必存在一单扩张k(幻，其极小多项式天“不这个单扩张可由作商环丸[x]/f火[X]构作出来.另一方面，对任一单超越扩张k(动，必有扩张的同构k(幻~k(x)，这里k(x)是k上以x为变元的有理函数域.任一有限型扩张可以通过作有限步单扩张而得到. 扩张K/k称为有限的(助ite)，是指K作为k上向量空间是有限维的，否则称为无限的(in助触).这向量空间的维数称为K/k的次数(‘kg氏)，记为lK:k」.每个有限扩张都是代数扩张，每个有限型代数扩张都是有限的.单代数扩张的次数即等于其相应的极小多项式的次数.另一方面，单超越扩张是无限的. 假设给出一个扩张列KCLCM，则M/K是代数的，当且仅当L/K和M/L均为代数的，进而言之，研人是有限的，当且仅当L/K和M/L均为有限的，并有 [M:K」”[M二L」【L:K】. 如果尸/k和Q/k是两个代数扩张，PQ是尸与Q在它们的公共扩域中的复合域(co功positUrn)，则PQZk也是代数的. 也可见可分扩张(义pan山le ext。招ion);超越扩张(加mcendental extension).

说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。